同济高数 第10章 第10-3-7题
📝 题目
7．计算 $\displaystyle{\iiint}_{\Omega} x z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Omega$ 是由平面 $z=0, z=y, y=1$ 以及抛物柱面 $y=x^{2}$ 所围成的闭区域．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求计算三重积分
$$
\iiint_{\Omega} x z \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z
$$
其中区域 $\Omega$ 由以下曲面围成：
- 平面 $z=0$（底面）
- 平面 $z=y$（顶面）
- 平面 $y=1$（侧面）
- 抛物柱面 $y=x^2$（侧面）
首先分析积分区域在 $xy$ 平面上的投影。
由 $y = x^2$ 和 $y=1$ 确定 $x$ 的范围：
$$
x^2 \le y \le 1,\quad -1 \le x \le 1
$$
而 $z$ 的范围由 $z=0$ 到 $z=y$。
因此积分可以化为累次积分：
$$
\iiint_{\Omega} x z \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z
= \int_{x=-1}^{1} \int_{y=x^{2}}^{1} \int_{z=0}^{y} x z \, \mathrm{d}z \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}x
$$
先对 $z$ 积分：
$$
\int_{z=0}^{y} x z \, \mathrm{d}z = x \cdot \frac{z^2}{2}\Big|_{0}^{y} = x \cdot \frac{y^2}{2}
$$
于是积分变为：
$$
\int_{x=-1}^{1} \int_{y=x^{2}}^{1} \frac{x y^{2}}{2} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}x
$$
再对 $y$ 积分：
$$
\int_{y=x^{2}}^{1} \frac{x y^{2}}{2} \, \mathrm{d}y
= \frac{x}{2} \cdot \frac{y^{3}}{3} \Big|_{x^{2}}^{1}
= \frac{x}{6} \left(1 - (x^{2})^{3}\right)
= \frac{x}{6} (1 - x^{6})
$$
最后对 $x$ 积分：
$$
\int_{x=-1}^{1} \frac{x}{6} (1 - x^{6}) \, \mathrm{d}x
= \frac{1}{6} \int_{-1}^{1} (x - x^{7}) \, \mathrm{d}x
$$
由于 $x$ 和 $x^{7}$ 都是奇函数，在对称区间 $[-1,1]$ 上积分为零，因此结果为：
$$
\frac{1}{6} \cdot 0 = 0
$$
因此，
$$
\boxed{0}
$$
难度评级：★★☆☆☆
（涉及三重积分化为累次积分，对称性简化计算，属于基础但需细心判断区域形状。）