同济高数 第10章 第10-3-6题
📝 题目
6．计算 $\displaystyle{\iiint}_{\Omega} x y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Omega$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 及三个坐标面所围成的在第 I 卦限内的闭区域。
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求解三重积分：
$$
\iiint_{\Omega} x y z \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z
$$
其中 $\Omega$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 与三个坐标平面 $x=0, y=0, z=0$ 所围成的第一卦限部分。
由于积分区域是球体的第一卦限部分，采用球坐标变换较为方便。令：
$$
x = r\sin\theta\cos\varphi,\quad y = r\sin\theta\sin\varphi,\quad z = r\cos\theta
$$
其中：
$$
0 \le r \le 1,\quad 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2},\quad 0 \le \varphi \le \frac{\pi}{2}
$$
雅可比行列式为 $r^2\sin\theta$，因此体积元：
$$
\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z = r^2\sin\theta \, \mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\varphi
$$
被积函数：
$$
x y z = (r\sin\theta\cos\varphi)(r\sin\theta\sin\varphi)(r\cos\theta) = r^3 \sin^2\theta \cos\theta \sin\varphi\cos\varphi
$$
于是积分化为：
$$
\iiint_{\Omega} x y z \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z
= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{1} r^3 \sin^2\theta \cos\theta \sin\varphi\cos\varphi \cdot r^2\sin\theta \, \mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\varphi
$$
合并 $r$ 的幂次：
$$
= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{1} r^5 \sin^3\theta \cos\theta \sin\varphi\cos\varphi \, \mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\varphi
$$
由于变量分离，可分解为三个单积分相乘：
$$
= \left( \int_{0}^{1} r^5 \, \mathrm{d}r \right)
\cdot \left( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^3\theta \cos\theta \, \mathrm{d}\theta \right)
\cdot \left( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin\varphi\cos\varphi \, \mathrm{d}\varphi \right)
$$
分别计算：
1.
$$
\int_{0}^{1} r^5 \, \mathrm{d}r = \left[ \frac{r^6}{6} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{6}
$$
2. 令 $u = \sin\theta$，则 $\mathrm{d}u = \cos\theta \, \mathrm{d}\theta$，当 $\theta=0$ 时 $u=0$，$\theta=\frac{\pi}{2}$ 时 $u=1$，
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^3\theta \cos\theta \, \mathrm{d}\theta = \int_{0}^{1} u^3 \, \mathrm{d}u = \frac{1}{4}
$$
3. 令 $t = \sin\varphi$，则 $\mathrm{d}t = \cos\varphi \, \mathrm{d}\varphi$，当 $\varphi=0$ 时 $t=0$，$\varphi=\frac{\pi}{2}$ 时 $t=1$，
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin\varphi\cos\varphi \, \mathrm{d}\varphi = \int_{0}^{1} t \, \mathrm{d}t = \frac{1}{2}
$$
因此：
$$
\iiint_{\Omega} x y z \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z
= \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{48}
$$
最终结果为：
$$
\boxed{\dfrac{1}{48}}
$$
难度：★★☆☆☆
（属于常规球坐标变换计算三重积分，步骤清晰，计算量较小，但需熟悉变量代换与积分分解技巧。）