同济高数 第10章 第10-3-5题

[AI解答]

[AI解答]
我们计算三重积分
$$
\iiint_{\Omega} \frac{\mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z}{(1+x+y+z)^{3}},
$$
其中 $\Omega$ 是由 $x=0, y=0, z=0, x+y+z=1$ 围成的四面体。

第一步：确定积分区域
四面体区域可以表示为
$$
\Omega: \quad 0 \le x \le 1,\quad 0 \le y \le 1-x,\quad 0 \le z \le 1-x-y.
$$

第二步：化为累次积分
$$
I = \int_{x=0}^{1} \int_{y=0}^{1-x} \int_{z=0}^{1-x-y} \frac{1}{(1+x+y+z)^3} \, \mathrm{d}z \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}x.
$$

**第三步：先对 $z$ 积分**
令 $u = 1+x+y+z$，则当 $z=0$ 时 $u=1+x+y$，当 $z=1-x-y$ 时 $u=2$，且 $\mathrm{d}z = \mathrm{d}u$。于是
$$
\int_{z=0}^{1-x-y} \frac{\mathrm{d}z}{(1+x+y+z)^3} = \int_{u=1+x+y}^{2} u^{-3} \, \mathrm{d}u
= \left[ \frac{u^{-2}}{-2} \right]_{1+x+y}^{2}
= \frac{1}{2}\left( \frac{1}{(1+x+y)^2} - \frac{1}{4} \right).
$$

**第四步：对 $y$ 积分**
现在
$$
I = \int_{x=0}^{1} \int_{y=0}^{1-x} \frac{1}{2} \left( \frac{1}{(1+x+y)^2} - \frac{1}{4} \right) \mathrm{d}y \, \mathrm{d}x.
$$
先对 $y$ 积分：
$$
\int_{y=0}^{1-x} \frac{1}{(1+x+y)^2} \, \mathrm{d}y
= \left[ -\frac{1}{1+x+y} \right]_{y=0}^{1-x}
= -\frac{1}{2} + \frac{1}{1+x}.
$$
而
$$
\int_{y=0}^{1-x} \frac{1}{4} \, \mathrm{d}y = \frac{1-x}{4}.
$$
因此内层结果为
$$
\frac{1}{2} \left[ \left( -\frac{1}{2} + \frac{1}{1+x} \right) - \frac{1-x}{4} \right]
= \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2} + \frac{1}{1+x} - \frac{1}{4} + \frac{x}{4} \right)
= \frac{1}{2} \left( -\frac{3}{4} + \frac{1}{1+x} + \frac{x}{4} \right).
$$

**第五步：对 $x$ 积分**
$$
I = \int_{0}^{1} \frac{1}{2} \left( -\frac{3}{4} + \frac{1}{1+x} + \frac{x}{4} \right) \mathrm{d}x
= \frac{1}{2} \left[ -\frac{3}{4}x + \ln(1+x) + \frac{x^2}{8} \right]_{0}^{1}.
$$
代入上下限：
当 $x=1$：
$$
-\frac{3}{4} + \ln 2 + \frac{1}{8} = -\frac{6}{8} + \frac{1}{8} + \ln 2 = -\frac{5}{8} + \ln 2.
$$
当 $x=0$：
$$
0 + \ln 1 + 0 = 0.
$$
所以
$$
I = \frac{1}{2} \left( -\frac{5}{8} + \ln 2 \right) = -\frac{5}{16} + \frac{1}{2}\ln 2.
$$

最终结果
$$
\boxed{\displaystyle \frac{1}{2}\ln 2 - \frac{5}{16}}.
$$

难度评级：★★☆☆☆
（计算过程直接，只需一次换元和基本积分技巧，但步骤较多，需仔细。）