同济高数 第10章 第10-4-11题

[AI解答]

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已知均匀矩形板的面密度为常量 $\mu$，长 $b$，宽 $h$。取矩形板的形心为坐标原点，建立直角坐标系，使板位于平面区域：
$$
-\frac{b}{2} \le x \le \frac{b}{2}, \quad -\frac{h}{2} \le y \le \frac{h}{2}.
$$

**1. 对通过形心且平行于 $x$ 轴的轴的转动惯量 $I_x$**
该轴即 $x$ 轴，转动惯量公式为：
$$
I_x = \iint\limits_{D} y^2 \, \mu \, \mathrm{d}A.
$$
代入区域：
$$
I_x = \mu \int_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} \int_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}} y^2 \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}x.
$$
先对 $y$ 积分：
$$
\int_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}} y^2 \, \mathrm{d}y = \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}} = \frac{1}{3} \left( \frac{h^3}{8} + \frac{h^3}{8} \right) = \frac{h^3}{12}.
$$
再对 $x$ 积分：
$$
I_x = \mu \cdot \frac{h^3}{12} \cdot \int_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} \mathrm{d}x = \mu \cdot \frac{h^3}{12} \cdot b = \frac{\mu b h^3}{12}.
$$

**2. 对通过形心且平行于 $y$ 轴的轴的转动惯量 $I_y$**
该轴即 $y$ 轴，公式为：
$$
I_y = \iint\limits_{D} x^2 \, \mu \, \mathrm{d}A.
$$
类似地：
$$
I_y = \mu \int_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} \int_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}} x^2 \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}x.
$$
先对 $y$ 积分得 $\int_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}} \mathrm{d}y = h$，再对 $x$ 积分：
$$
\int_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} x^2 \, \mathrm{d}x = \frac{b^3}{12},
$$
因此：
$$
I_y = \mu \cdot h \cdot \frac{b^3}{12} = \frac{\mu b^3 h}{12}.
$$

结论
矩形板对通过形心且平行于长边（$b$）的轴的转动惯量为 $\displaystyle \frac{\mu b h^3}{12}$，对通过形心且平行于宽边（$h$）的轴的转动惯量为 $\displaystyle \frac{\mu b^3 h}{12}$。

难度：★★☆☆☆