同济高数 第11章 第11-3-12题

[AI解答]

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步骤1：梯度存在的条件
向量场 $\boldsymbol{A}(x, y) = P(x, y)\boldsymbol{i} + Q(x, y)\boldsymbol{j}$ 是某函数 $u(x, y)$ 的梯度，当且仅当在单连通区域内满足
$$
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}.
$$
这里
$$
P(x,y) = 2xy (x^4 + y^2)^\lambda, \quad Q(x,y) = -x^2 (x^4 + y^2)^\lambda.
$$

步骤2：计算偏导数
先求 $\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}$：
$$
\frac{\partial P}{\partial y} = 2x (x^4 + y^2)^\lambda + 2xy \cdot \lambda (x^4 + y^2)^{\lambda-1} \cdot 2y
= 2x (x^4 + y^2)^\lambda + 4\lambda x y^2 (x^4 + y^2)^{\lambda-1}.
$$

再求 $\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}$：
$$
\frac{\partial Q}{\partial x} = -2x (x^4 + y^2)^\lambda - x^2 \cdot \lambda (x^4 + y^2)^{\lambda-1} \cdot 4x^3
= -2x (x^4 + y^2)^\lambda - 4\lambda x^4 (x^4 + y^2)^{\lambda-1}.
$$

步骤3：令两者相等
$$
2x (x^4 + y^2)^\lambda + 4\lambda x y^2 (x^4 + y^2)^{\lambda-1}
= -2x (x^4 + y^2)^\lambda - 4\lambda x^4 (x^4 + y^2)^{\lambda-1}.
$$
移项合并同类项：
$$
4x (x^4 + y^2)^\lambda + 4\lambda x (y^2 + x^4)(x^4 + y^2)^{\lambda-1} = 0.
$$
注意 $(y^2 + x^4) = (x^4 + y^2)$，所以第二项为
$$
4\lambda x (x^4 + y^2)^{\lambda}.
$$
于是方程化为
$$
4x (x^4 + y^2)^\lambda (1 + \lambda) = 0.
$$
由于在右半平面 $x>0$，且 $x^4+y^2>0$，故
$$
1 + \lambda = 0 \quad\Rightarrow\quad \lambda = -1.
$$

**步骤4：求势函数 $u(x, y)$**
此时
$$
P = \frac{2xy}{x^4 + y^2}, \quad Q = -\frac{x^2}{x^4 + y^2}.
$$
设 $u(x, y)$ 满足
$$
\frac{\partial u}{\partial x} = P, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = Q.
$$
从第一个方程积分：
$$
u(x, y) = \int \frac{2xy}{x^4 + y^2} \, dx.
$$
令 $t = x^2$，则 $dt = 2x dx$，于是
$$
\int \frac{2xy}{x^4 + y^2} dx = \int \frac{y}{t^2 + y^2} dt = \arctan\left(\frac{t}{y}\right) + C(y)
= \arctan\left(\frac{x^2}{y}\right) + C(y).
$$
再对 $y$ 求偏导：
$$
\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left[ \arctan\left(\frac{x^2}{y}\right) + C(y) \right]
= \frac{1}{1 + \left(\frac{x^2}{y}\right)^2} \cdot \left(-\frac{x^2}{y^2}\right) + C'(y)
= -\frac{x^2}{x^4 + y^2} + C'(y).
$$
令其等于 $Q = -\dfrac{x^2}{x^4 + y^2}$，得 $C'(y) = 0$，故 $C(y)$ 为常数，可取为 0。

因此
$$
u(x, y) = \arctan\left(\frac{x^2}{y}\right).
$$

最终答案
常数 $\lambda = -1$，势函数为
$$
\boxed{\lambda = -1,\quad u(x,y)=\arctan\frac{x^{2}}{y}}.
$$

难度：★★☆☆☆