同济高数 第12章 第12-7-2题
📝 题目
2．将下列函数 $f(x)$ 展开成傅里叶级数：
（1）$\displaystyle f(x)=2 \sin \frac{x}{3}(-\pi \leqslant x \leqslant \pi)$ ；
（2）$f(x)= \begin{cases}\mathrm{e}^{x}, & -\pi \leqslant x\lt 0, \\ 1, & 0 \leqslant x \leqslant \pi ;\end{cases}$
（3）$f(x)=x \sin x(-\pi \leqslant x \leqslant \pi)$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
（1） $\displaystyle f(x)=2\sin\frac{x}{3},\quad -\pi\leqslant x\leqslant\pi$
由于$f(x)$是奇函数，傅里叶级数只有正弦项。周期$T=2\pi$，$\displaystyle \omega=\frac{2\pi}{T}=1$，因此傅里叶系数：
$$
a_n=0,\quad b_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}2\sin\frac{x}{3}\sin(nx)\,dx
$$
利用积化和差：
$$
\sin\frac{x}{3}\sin(nx)=\frac{1}{2}\left[\cos\left(\frac{x}{3}-nx\right)-\cos\left(\frac{x}{3}+nx\right)\right]
$$
因此
$$
b_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\left[\cos\left(\left(\frac{1}{3}-n\right)x\right)-\cos\left(\left(\frac{1}{3}+n\right)x\right)\right]dx
$$
计算积分：
$$
\int_{0}^{\pi}\cos(kx)\,dx=\begin{cases}
\pi,&k=0,\\
\frac{\sin(k\pi)}{k},&k\neq0
\end{cases}
$$
当$n$为正整数时，$\displaystyle \frac13\pm n\neq0$，且$\displaystyle \sin\left((\frac13\pm n)\pi\right)=\sin\left(\frac{\pi}{3}\pm n\pi\right)$
利用$\displaystyle \sin(\frac{\pi}{3}+n\pi)=(-1)^n\frac{\sqrt3}{2}$，$\displaystyle \sin(\frac{\pi}{3}-n\pi)=(-1)^n\frac{\sqrt3}{2}$，所以：
$$
b_n=\frac{2}{\pi}\left[\frac{\sin((\frac13-n)\pi)}{\frac13-n}-\frac{\sin((\frac13+n)\pi)}{\frac13+n}\right]
=\frac{2}{\pi}\cdot(-1)^n\frac{\sqrt3}{2}\left[\frac{1}{\frac13-n}-\frac{1}{\frac13+n}\right]
$$
化简括号内：
$$
\frac{1}{\frac13-n}-\frac{1}{\frac13+n}
=\frac{(\frac13+n)-(\frac13-n)}{\frac19-n^2}
=\frac{2n}{\frac19-n^2}
$$
因此
$$
b_n=\frac{2}{\pi}\cdot(-1)^n\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{2n}{\frac19-n^2}
=\frac{2\sqrt3\,n\,(-1)^n}{\pi\left(\frac19-n^2\right)}
$$
所以傅里叶级数为：
$$
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2\sqrt3\,n\,(-1)^n}{\pi\left(\frac19-n^2\right)}\sin(nx),\quad x\in(-\pi,\pi)
$$
---
（2）
$$
f(x)=\begin{cases}
e^x,&-\pi\leqslant x<0,\\
1,&0\leqslant x\leqslant\pi
\end{cases}
$$
周期$2\pi$，计算系数：
$$
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx=\frac{1}{\pi}\left(\int_{-\pi}^{0}e^xdx+\int_{0}^{\pi}1\,dx\right)
=\frac{1}{\pi}\left[(1-e^{-\pi})+\pi\right]=1+\frac{1-e^{-\pi}}{\pi}
$$
对于$n\geqslant1$：
$$
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx
=\frac{1}{\pi}\left[\int_{-\pi}^{0}e^x\cos(nx)dx+\int_{0}^{\pi}\cos(nx)dx\right]
$$
第二个积分为0。第一个积分：
$$
\int e^x\cos(nx)dx=\frac{e^x}{1+n^2}(\cos(nx)+n\sin(nx))
$$
代入上下限$0$和$-\pi$：
$$
\int_{-\pi}^{0}e^x\cos(nx)dx=\frac{1}{1+n^2}\left[1-e^{-\pi}(\cos(n\pi)-n\sin(n\pi))\right]
$$
由于$\sin(n\pi)=0$，$\cos(n\pi)=(-1)^n$，得：
$$
=\frac{1-(-1)^n e^{-\pi}}{1+n^2}
$$
因此
$$
a_n=\frac{1-(-1)^n e^{-\pi}}{\pi(1+n^2)}
$$
同理，
$$
b_n=\frac{1}{\pi}\left[\int_{-\pi}^{0}e^x\sin(nx)dx+\int_{0}^{\pi}\sin(nx)dx\right]
$$
第二个积分为$\displaystyle \frac{1-(-1)^n}{n}$。第一个积分：
$$
\int e^x\sin(nx)dx=\frac{e^x}{1+n^2}(\sin(nx)-n\cos(nx))
$$
代入上下限：
$$
\int_{-\pi}^{0}e^x\sin(nx)dx=\frac{1}{1+n^2}\left[0- e^{-\pi}(\sin(-n\pi)-n\cos(-n\pi))\right]
$$
由于$\sin(-n\pi)=0$，$\cos(-n\pi)=(-1)^n$，得：
$$
=\frac{-(-1)^n n e^{-\pi}}{1+n^2}
$$
所以
$$
b_n=\frac{1}{\pi}\left[\frac{-(-1)^n n e^{-\pi}}{1+n^2}+\frac{1-(-1)^n}{n}\right]
$$
因此傅里叶级数为：
$$
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right)
$$
其中$a_0,a_n,b_n$如上。
---
（3） $f(x)=x\sin x,\quad -\pi\leqslant x\leqslant\pi$
$f(x)$是偶函数（因为$x\sin x$偶），所以$b_n=0$。
$$
a_0=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x\sin x\,dx
$$
用分部积分：令$u=x,dv=\sin x dx$，得：
$$
\int x\sin x\,dx=-x\cos x+\sin x
$$
所以
$$
a_0=\frac{2}{\pi}\left[-x\cos x+\sin x\right]_{0}^{\pi}
=\frac{2}{\pi}\left[-\pi(-1)+0-(0+0)\right]=\frac{2}{\pi}\cdot\pi=2
$$
对于$n\geqslant1$：
$$
a_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x\sin x\cos(nx)\,dx
$$
利用积化和差：
$$
\sin x\cos(nx)=\frac12[\sin((n+1)x)-\sin((n-1)x)]
$$
所以
$$
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}x\left[\sin((n+1)x)-\sin((n-1)x)\right]dx
$$
分别计算$\int_{0}^{\pi}x\sin(kx)dx$，$k$整数且$k\neq0$：
$$
\int x\sin(kx)dx=-\frac{x\cos(kx)}{k}+\frac{\sin(kx)}{k^2}
$$
代入上下限：
当$k\neq0$时：
$$
\int_{0}^{\pi}x\sin(kx)dx=-\frac{\pi\cos(k\pi)}{k}+\frac{\sin(k\pi)}{k^2}-0
=-\frac{\pi(-1)^k}{k}
$$
因此：
- 若$n\neq1$，则$n+1\neq0$且$n-1\neq0$，得：
$$
a_n=\frac{1}{\pi}\left[-\frac{\pi(-1)^{n+1}}{n+1}+\frac{\pi(-1)^{n-1}}{n-1}\right]
=(-1)^{n}\left[\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n-1}\right]
$$
化简：
$$
\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n-1}=\frac{(n-1)-(n+1)}{n^2-1}=\frac{-2}{n^2-1}
$$
所以
$$
a_n=(-1)^{n}\cdot\frac{-2}{n^2-1}=\frac{2(-1)^{n+1}}{n^2-1},\quad n\neq1
$$
- 当$n=1$时，$n-1=0$，需单独计算：
$$
a_1=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x\sin x\cos x\,dx=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}x\sin(2x)dx
$$
计算：
$$
\int x\sin(2x)dx=-\frac{x\cos(2x)}{2}+\frac{\sin(2x)}{4}
$$
代入上下限：
$$
\int_{0}^{\pi}x\sin(2x)dx=-\frac{\pi\cos(2\pi)}{2}+0-0=-\frac{\pi}{2}
$$
因此
$$
a_1=\frac{1}{\pi}\cdot\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-\frac12
$$
所以傅里叶级数为：
$$
f(x)=1+\left(-\frac12\right)\cos x+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{2(-1