同济高数 第12章 第12-7-3题

[AI解答]

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将函数 $ f(x) = \cos\frac{x}{2} $ 在区间 $[-\pi, \pi]$ 上展开为傅里叶级数。
该函数是偶函数，因此傅里叶级数只含余弦项，即
$$
f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(nx),
$$
其中
$$
a_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx.
$$

**第一步：计算 $a_0$**
$$
a_0 = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \cos\frac{x}{2} \, dx
= \frac{2}{\pi} \left[ 2\sin\frac{x}{2} \right]_{0}^{\pi}
= \frac{2}{\pi} \cdot 2 \cdot \sin\frac{\pi}{2}
= \frac{4}{\pi}.
$$

**第二步：计算 $a_n$（$n \ge 1$）**
利用积化和差公式：
$$
\cos\frac{x}{2} \cos(nx) = \frac{1}{2} \left[ \cos\left( \frac{x}{2} + nx \right) + \cos\left( \frac{x}{2} - nx \right) \right]
= \frac{1}{2} \left[ \cos\left( \left(n+\frac12\right)x \right) + \cos\left( \left(n-\frac12\right)x \right) \right].
$$
因此
$$
a_n = \frac{2}{\pi} \cdot \frac12 \int_{0}^{\pi} \left[ \cos\left( \left(n+\frac12\right)x \right) + \cos\left( \left(n-\frac12\right)x \right) \right] dx
= \frac{1}{\pi} \left[ \frac{\sin\left( \left(n+\frac12\right)x \right)}{n+\frac12} + \frac{\sin\left( \left(n-\frac12\right)x \right)}{n-\frac12} \right]_{0}^{\pi}.
$$
代入 $x = \pi$：
$$
\sin\left( \left(n+\frac12\right)\pi \right) = \sin\left( n\pi + \frac{\pi}{2} \right) = (-1)^n,
$$
$$
\sin\left( \left(n-\frac12\right)\pi \right) = \sin\left( n\pi - \frac{\pi}{2} \right) = (-1)^{n-1} = -(-1)^n.
$$
于是
$$
a_n = \frac{1}{\pi} \left[ \frac{(-1)^n}{n+\frac12} + \frac{-(-1)^n}{n-\frac12} \right]
= \frac{(-1)^n}{\pi} \left( \frac{1}{n+\frac12} - \frac{1}{n-\frac12} \right).
$$
计算括号内：
$$
\frac{1}{n+\frac12} - \frac{1}{n-\frac12}
= \frac{(n-\frac12) - (n+\frac12)}{(n+\frac12)(n-\frac12)}
= \frac{-1}{n^2 - \frac14}.
$$
因此
$$
a_n = \frac{(-1)^n}{\pi} \cdot \frac{-1}{n^2 - \frac14}
= \frac{(-1)^{n+1}}{\pi \left( n^2 - \frac14 \right)}.
$$

第三步：写出傅里叶级数
$$
f(x) = \frac{2}{\pi} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{\pi \left( n^2 - \frac14 \right)} \cos(nx), \quad x \in [-\pi, \pi].
$$
由于函数在区间端点连续（$\cos(\pm \pi/2)=0$），该级数在闭区间上一致收敛于 $f(x)$。

难度评级：★★☆☆☆
涉及偶函数展开、积化和差与简单积分，计算量适中，但思路清晰。