同济高数 第12章 第12-7-4题

[AI解答]

[AI解答]

第一步：判断函数奇偶性与展开形式
观察 $f(x)$ 在 $[-\pi, \pi)$ 上的定义：
- 当 $x \in [-\pi, -\pi/2)$ 时，$f(x) = -\pi/2$；
- 当 $x \in [-\pi/2, \pi/2)$ 时，$f(x) = x$（奇函数部分）；
- 当 $x \in [\pi/2, \pi)$ 时，$f(x) = \pi/2$。

容易验证 $f(-x) = -f(x)$ 在区间上成立，因此 $f(x)$ 是奇函数。
奇函数的傅里叶级数只有正弦项，即
$$
a_n = 0, \quad n = 0,1,2,\dots
$$
且
$$
b_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx
$$

**第二步：计算傅里叶系数 $b_n$**
由于 $f(x)$ 在 $[0,\pi]$ 上的表达式为分段形式：
$$
f(x) =
\begin{cases}
x, & 0 \le x < \frac{\pi}{2} \$$4pt]
\frac{\pi}{2}, & \frac{\pi}{2} \le x < \pi
\end{cases}
$$
因此
$$
b_n = \frac{2}{\pi} \left[ \int_{0}^{\pi/2} x \sin(nx) \, dx + \int_{\pi/2}^{\pi} \frac{\pi}{2} \sin(nx) \, dx \right]
$$

第三步：计算第一个积分
使用分部积分：
$$
\int x \sin(nx) \, dx = -\frac{x \cos(nx)}{n} + \frac{\sin(nx)}{n^2}
$$
所以
$$
\int_{0}^{\pi/2} x \sin(nx) \, dx
= \left[ -\frac{x \cos(nx)}{n} + \frac{\sin(nx)}{n^2} \right]_{0}^{\pi/2}
$$
代入上下限：
- 上限 $x = \pi/2$：
$\displaystyle -\frac{\pi}{2n} \cos\left(\frac{n\pi}{2}\right) + \frac{1}{n^2} \sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)$
- 下限 $x = 0$：$0 + 0 = 0$

所以
$$
I_1 = -\frac{\pi}{2n} \cos\left(\frac{n\pi}{2}\right) + \frac{1}{n^2} \sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)
$$

第四步：计算第二个积分
$$
\int_{\pi/2}^{\pi} \frac{\pi}{2} \sin(nx) \, dx
= \frac{\pi}{2} \cdot \left[ -\frac{\cos(nx)}{n} \right]_{\pi/2}^{\pi}
= \frac{\pi}{2} \cdot \frac{-\cos(n\pi) + \cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{n}
$$
即
$$
I_2 = \frac{\pi}{2n} \left[ -\cos(n\pi) + \cos\left(\frac{n\pi}{2}\right) \right]
$$

**第五步：合并 $b_n$**
$$
b_n = \frac{2}{\pi} (I_1 + I_2)
= \frac{2}{\pi} \left[
-\frac{\pi}{2n} \cos\left(\frac{n\pi}{2}\right) + \frac{1}{n^2} \sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)
+ \frac{\pi}{2n} \left( -\cos(n\pi) + \cos\left(\frac{n\pi}{2}\right) \right)
\right]
$$
注意 $\displaystyle -\frac{\pi}{2n} \cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)$ 与 $\displaystyle \frac{\pi}{2n} \cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)$ 抵消，于是
$$
b_n = \frac{2}{\pi} \left[
\frac{1}{n^2} \sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)
- \frac{\pi}{2n} \cos(n\pi)
\right]
$$
化简：
$$
b_n = \frac{2}{\pi n^2} \sin\left(\frac{n\pi}{2}\right) - \frac{1}{n} \cos(n\pi)
$$

第六步：写出傅里叶级数
由于 $\cos(n\pi) = (-1)^n$，所以
$$
b_n = \frac{2}{\pi n^2} \sin\left(\frac{n\pi}{2}\right) - \frac{(-1)^n}{n}
$$
因此 $f(x)$ 的傅里叶级数为
$$
f(x) \sim \sum_{n=1}^{\infty} \left[ \frac{2}{\pi n^2} \sin\left(\frac{n\pi}{2}\right) - \frac{(-1)^n}{n} \right] \sin(nx)
$$

第七步：简化正弦项
注意到 $\displaystyle \sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)$ 的取值规律：
- 当 $n=2k$ 时，$\sin(k\pi)=0$；
- 当 $n=2k-1$ 时，$\displaystyle \sin\left(\frac{(2k-1)\pi}{2}\right) = (-1)^{k-1}$。

因此可只对奇数项求和，令 $n=2k-1$，则
$$
b_{2k-1} = \frac{2}{\pi (2k-1)^2} (-1)^{k-1} - \frac{(-1)^{2k-1}}{2k-1}
= \frac{2(-1)^{k-1}}{\pi (2k-1)^2} + \frac{1}{2k-1}
$$
因为 $(-1)^{2k-1} = -1$，所以 $\displaystyle -\frac{(-1)^n}{n} = -\frac{-1}{2k-1} = \frac{1}{2k-1}$。

最终傅里叶级数展开式：
$$
\boxed{f(x) = \sum_{k=1}^{\infty} \left[ \frac{1}{2k-1} + \frac{2(-1)^{k-1}}{\pi (2k-1)^2} \right] \sin\big((2k-1)x\big), \quad x \in \mathbb{R}}
$$

---

难度评级：★★★☆☆
（涉及奇偶性判断、分段积分、分部积分、三角级数化简，需细心处理符号与分段点）