同济高数 第12章 第12-7-6题
📝 题目
6．将函数 $f(x)=2 x^{2}(0 \leqslant x \leqslant \pi)$ 分别展开成正弦级数和余弦级数．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们先将函数 $ f(x) = 2x^2 $ 定义在区间 $[0, \pi]$ 上，然后分别作奇延拓与偶延拓，得到傅里叶级数中的正弦级数和余弦级数。
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一、展开成正弦级数（奇延拓）
对 $ f(x) $ 在 $[0, \pi]$ 上作奇延拓，则傅里叶系数为
$$
a_n = 0,\quad b_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx
$$
代入 $ f(x) = 2x^2 $：
$$
b_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} 2x^2 \sin(nx) \, dx
= \frac{4}{\pi} \int_{0}^{\pi} x^2 \sin(nx) \, dx
$$
计算积分：
$$
\int x^2 \sin(nx) \, dx
= -\frac{x^2}{n} \cos(nx) + \frac{2}{n} \int x \cos(nx) \, dx
$$
而
$$
\int x \cos(nx) \, dx = \frac{x}{n} \sin(nx) + \frac{1}{n^2} \cos(nx)
$$
因此
$$
\int x^2 \sin(nx) \, dx
= -\frac{x^2}{n} \cos(nx) + \frac{2x}{n^2} \sin(nx) + \frac{2}{n^3} \cos(nx)
$$
代入上下限 $0$ 到 $\pi$：
- 当 $x = \pi$：
$\sin(n\pi) = 0$，$\cos(n\pi) = (-1)^n$，得
$$
-\frac{\pi^2}{n}(-1)^n + \frac{2}{n^3}(-1)^n
$$
- 当 $x = 0$：
$\sin 0 = 0$，$\cos 0 = 1$，得
$$
0 + \frac{2}{n^3}
$$
所以定积分为：
$$
\int_{0}^{\pi} x^2 \sin(nx) \, dx
= \left( -\frac{\pi^2}{n}(-1)^n + \frac{2}{n^3}(-1)^n \right) - \frac{2}{n^3}
= (-1)^n \left( \frac{2}{n^3} - \frac{\pi^2}{n} \right) - \frac{2}{n^3}
$$
于是：
$$
b_n = \frac{4}{\pi} \left[ (-1)^n \left( \frac{2}{n^3} - \frac{\pi^2}{n} \right) - \frac{2}{n^3} \right]
$$
正弦级数展开式为：
$$
f(x) \sim \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin(nx)
$$
其中 $b_n$ 如上。
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二、展开成余弦级数（偶延拓）
对 $ f(x) $ 作偶延拓，则
$$
b_n = 0,\quad a_0 = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \, dx,\quad a_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx
$$
先算 $a_0$：
$$
a_0 = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} 2x^2 \, dx = \frac{4}{\pi} \cdot \frac{\pi^3}{3} = \frac{4\pi^2}{3}
$$
再算 $a_n$：
$$
a_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} 2x^2 \cos(nx) \, dx = \frac{4}{\pi} \int_{0}^{\pi} x^2 \cos(nx) \, dx
$$
计算积分：
$$
\int x^2 \cos(nx) \, dx
= \frac{x^2}{n} \sin(nx) - \frac{2}{n} \int x \sin(nx) \, dx
$$
而
$$
\int x \sin(nx) \, dx = -\frac{x}{n} \cos(nx) + \frac{1}{n^2} \sin(nx)
$$
所以
$$
\int x^2 \cos(nx) \, dx
= \frac{x^2}{n} \sin(nx) + \frac{2x}{n^2} \cos(nx) - \frac{2}{n^3} \sin(nx)
$$
代入上下限 $0$ 到 $\pi$：
- 当 $x = \pi$：$\sin(n\pi)=0$，$\cos(n\pi)=(-1)^n$，得
$$
0 + \frac{2\pi}{n^2}(-1)^n - 0 = \frac{2\pi}{n^2}(-1)^n
$$
- 当 $x = 0$：得 $0$
因此：
$$
\int_{0}^{\pi} x^2 \cos(nx) \, dx = \frac{2\pi}{n^2}(-1)^n
$$
于是：
$$
a_n = \frac{4}{\pi} \cdot \frac{2\pi}{n^2}(-1)^n = \frac{8}{n^2}(-1)^n
$$
余弦级数展开式为：
$$
f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(nx)
= \frac{2\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{8(-1)^n}{n^2} \cos(nx)
$$
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最终结果：
正弦级数：
$$
\boxed{2x^2 = \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \left[ (-1)^n \left( \frac{2}{n^3} - \frac{\pi^2}{n} \right) - \frac{2}{n^3} \right] \sin(nx)}
$$
余弦级数：
$$
\boxed{2x^2 = \frac{2\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{8(-1)^n}{n^2} \cos(nx)}
$$
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难度：★★☆☆☆
（计算量中等，但方法固定，属于常规傅里叶级数展开题）