同济高数 第8章 第8-3-3题
📝 题目
3．求过 $M_{1}(1,1,-1), M_{2}(-2,-2,2)$ 和 $M_{3}(1,-1,2)$ 三点的平面方程．
💡 答案解析
[AI解答]
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我们要求过三点 $M_{1}(1,1,-1), M_{2}(-2,-2,2), M_{3}(1,-1,2)$ 的平面方程。步骤如下：
第一步：构造两个方向向量
取
$$
\vec{M_1M_2} = (-2-1,\ -2-1,\ 2-(-1)) = (-3,-3,3)
$$
$$
\vec{M_1M_3} = (1-1,\ -1-1,\ 2-(-1)) = (0,-2,3)
$$
第二步：求法向量
法向量 $\vec{n}$ 为这两个向量的叉积：
$$
\vec{n} = \vec{M_1M_2} \times \vec{M_1M_3}
= \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
-3 & -3 & 3 \\
0 & -2 & 3
\end{vmatrix}
$$
计算得：
$$
\mathbf{i} \text{分量: } (-3)\cdot 3 - 3\cdot(-2) = -9 + 6 = -3
$$
$$
\mathbf{j} \text{分量: } -[(-3)\cdot 3 - 3\cdot 0] = -(-9 - 0) = 9
$$
注意这里公式是 $-\begin{vmatrix} -3 & 3 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = -((-3)\cdot 3 - 3\cdot 0) = -(-9) = 9$
$$
\mathbf{k} \text{分量: } (-3)\cdot(-2) - (-3)\cdot 0 = 6 - 0 = 6
$$
所以
$$
\vec{n} = (-3, 9, 6)
$$
可以约去公因子 3，得到简化法向量 $(-1, 3, 2)$。
第三步：写出平面方程
用点法式，取点 $M_1(1,1,-1)$，法向量 $(-1,3,2)$：
$$
-1(x-1) + 3(y-1) + 2(z+1) = 0
$$
展开：
$$
-x + 1 + 3y - 3 + 2z + 2 = 0
$$
$$
-x + 3y + 2z + (1-3+2) = 0
$$
$$
-x + 3y + 2z + 0 = 0
$$
即
$$
-x + 3y + 2z = 0
$$
或乘以 $-1$ 得
$$
x - 3y - 2z = 0
$$
最终答案：
$$
\boxed{x - 3y - 2z = 0}
$$