同济高数 第8章 第8-4-5题
📝 题目
5．求直线 $\left\{\begin{array}{l}5 x-3 y+3 z-9=0, \\ 3 x-2 y+z-1=0\end{array}\right.$ 与直线 $\left\{\begin{array}{l}2 x+2 y-z+23=0, \\ 3 x+8 y+z-18=0\end{array}\right.$ 的夹角的余弦．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
第一步：将两条直线转化为对称式方程，求出方向向量。
对于第一条直线：
$$
\begin{cases}
5x - 3y + 3z - 9 = 0, \\
3x - 2y + z - 1 = 0.
\end{cases}
$$
两平面的法向量分别为：
$$
\vec{n}_1 = (5, -3, 3), \quad \vec{n}_2 = (3, -2, 1).
$$
直线的方向向量 $\vec{s}_1$ 垂直于两个法向量，因此：
$$
\vec{s}_1 = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
5 & -3 & 3 \\
3 & -2 & 1
\end{vmatrix}.
$$
计算：
$$
\vec{s}_1 = \mathbf{i}((-3)\cdot 1 - 3\cdot(-2)) - \mathbf{j}(5\cdot 1 - 3\cdot 3) + \mathbf{k}(5\cdot(-2) - (-3)\cdot 3)
$$
$$
= \mathbf{i}(-3 + 6) - \mathbf{j}(5 - 9) + \mathbf{k}(-10 + 9)
$$
$$
= (3, 4, -1).
$$
---
第二步：求第二条直线的方向向量。
第二条直线：
$$
\begin{cases}
2x + 2y - z + 23 = 0, \\
3x + 8y + z - 18 = 0.
\end{cases}
$$
法向量分别为：
$$
\vec{n}_3 = (2, 2, -1), \quad \vec{n}_4 = (3, 8, 1).
$$
方向向量：
$$
\vec{s}_2 = \vec{n}_3 \times \vec{n}_4 =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
2 & 2 & -1 \\
3 & 8 & 1
\end{vmatrix}.
$$
计算：
$$
\vec{s}_2 = \mathbf{i}(2\cdot 1 - (-1)\cdot 8) - \mathbf{j}(2\cdot 1 - (-1)\cdot 3) + \mathbf{k}(2\cdot 8 - 2\cdot 3)
$$
$$
= \mathbf{i}(2 + 8) - \mathbf{j}(2 + 3) + \mathbf{k}(16 - 6)
$$
$$
= (10, -5, 10).
$$
可约去公因子5，得方向向量为 $(2, -1, 2)$。
---
第三步：计算两直线夹角的余弦。
两直线夹角 $\theta$ 的余弦公式：
$$
\cos\theta = \frac{|\vec{s}_1 \cdot \vec{s}_2|}{|\vec{s}_1|\,|\vec{s}_2|}.
$$
计算点积：
$$
\vec{s}_1 \cdot \vec{s}_2 = (3, 4, -1) \cdot (2, -1, 2) = 3\cdot 2 + 4\cdot(-1) + (-1)\cdot 2 = 6 - 4 - 2 = 0.
$$
因此：
$$
\cos\theta = 0.
$$
---
最终答案：
$$
\boxed{0}
$$