同济高数 第8章 第8-4-4题
📝 题目
4．求过点 $(2,0,-3)$ 且与直线 $\left\{\begin{array}{l}x-2 y+4 z-7=0, \\ 3 x+5 y-2 z+1=0\end{array}\right.$ 垂直的平面方程．
💡 答案解析
[AI解答]
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已知所求平面过点 $P_0=(2,0,-3)$，且与给定直线垂直。
给定直线由两个平面方程的交线表示：
$$
\begin{cases}
x - 2y + 4z - 7 = 0, \\
3x + 5y - 2z + 1 = 0.
\end{cases}
$$
直线的方向向量 $\vec{s}$ 垂直于这两个平面的法向量。
第一个平面的法向量 $\vec{n}_1 = (1, -2, 4)$，
第二个平面的法向量 $\vec{n}_2 = (3, 5, -2)$。
直线的方向向量为：
$$
\vec{s} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2.
$$
计算叉积：
$$
\vec{s} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & -2 & 4 \\
3 & 5 & -2
\end{vmatrix}
= \mathbf{i}((-2)(-2) - (4)(5)) - \mathbf{j}((1)(-2) - (4)(3)) + \mathbf{k}((1)(5) - (-2)(3)).
$$
逐步计算：
- $i$ 分量：$(-2)(-2)=4$，减去 $4 \cdot 5 = 20$，得 $4 - 20 = -16$。
- $j$ 分量（注意负号）：先算括号内 $(1)(-2) - (4)(3) = -2 - 12 = -14$，前面有负号，故为 $-(-14)=14$。
- $k$ 分量：$(1)(5) - (-2)(3) = 5 + 6 = 11$。
所以：
$$
\vec{s} = (-16, 14, 11).
$$
因为所求平面与直线垂直，所以直线的方向向量 $\vec{s}$ 就是所求平面的法向量。
因此平面方程为：
$$
-16(x - 2) + 14(y - 0) + 11(z + 3) = 0.
$$
展开：
$$
-16x + 32 + 14y + 11z + 33 = 0,
$$
$$
-16x + 14y + 11z + 65 = 0.
$$
两边乘以 $-1$ 得标准形式：
$$
16x - 14y - 11z - 65 = 0.
$$
因此，所求平面方程为：
$$
\boxed{16x - 14y - 11z - 65 = 0}.
$$