同济高数 第8章 第8-4-3题

[AI解答]

[AI解答]

首先，将直线的一般式方程转化为对称式方程。给定方程组：
$$
\begin{cases}
x - y + z = 1, \\
2x + y + z = 4.
\end{cases}
$$

第一步，求直线上一点。令 $z = 0$，则方程组变为：
$$
\begin{cases}
x - y = 1, \\
2x + y = 4.
\end{cases}
$$
两式相加得 $3x = 5$，所以 $x = \frac{5}{3}$，代入第一式得 $\frac{5}{3} - y = 1$，解得 $y = \frac{2}{3}$。因此直线上一点为 $P_0\left(\frac{5}{3}, \frac{2}{3}, 0\right)$。

第二步，求直线的方向向量。方向向量 $\vec{s}$ 垂直于两个平面的法向量：
$$
\vec{n}_1 = (1, -1, 1), \quad \vec{n}_2 = (2, 1, 1).
$$
方向向量为：
$$
\vec{s} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & -1 & 1 \\
2 & 1 & 1
\end{vmatrix}.
$$
计算得：
$$
\vec{s} = \left( (-1)\cdot 1 - 1\cdot 1,\; 1\cdot 2 - 1\cdot 1,\; 1\cdot 1 - (-1)\cdot 2 \right) = (-2, 1, 3).
$$

因此直线的对称式方程为：
$$
\frac{x - \frac{5}{3}}{-2} = \frac{y - \frac{2}{3}}{1} = \frac{z - 0}{3}.
$$
也可以写为：
$$
\frac{x - \frac{5}{3}}{-2} = \frac{y - \frac{2}{3}}{1} = \frac{z}{3}.
$$

第三步，化为参数方程。设
$$
\frac{x - \frac{5}{3}}{-2} = \frac{y - \frac{2}{3}}{1} = \frac{z}{3} = t,
$$
则参数方程为：
$$
\begin{cases}
x = \frac{5}{3} - 2t, \\
y = \frac{2}{3} + t, \\
z = 3t.
\end{cases}
$$

最终答案：
对称式方程：
$$
\frac{x - \frac{5}{3}}{-2} = \frac{y - \frac{2}{3}}{1} = \frac{z}{3}.
$$
参数方程：
$$
\begin{cases}
x = \frac{5}{3} - 2t, \\
y = \frac{2}{3} + t, \\
z = 3t.
\end{cases}
$$

难度：★☆☆☆☆