同济高数 第9章 第9-1-6题

[AI解答]

[AI解答]

（1）
求极限
$$
\lim_{(x,y)\to(0,1)} \frac{1-xy}{x^2+y^2}.
$$
由于分母在点 $(0,1)$ 处为 $0^2+1^2=1\neq 0$，分子为 $1-0\cdot 1=1$，因此直接代入得
$$
\frac{1}{1}=1.
$$
故极限为 $1$.

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（2）
求极限
$$
\lim_{(x,y)\to(1,0)} \frac{\ln(x+e^y)}{\sqrt{x^2+y^2}}.
$$
直接代入 $(1,0)$：分子 $\ln(1+e^0)=\ln 2$，分母 $\sqrt{1^2+0^2}=1$，所以极限为
$$
\ln 2.
$$

---

（3）
求极限
$$
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{2-\sqrt{xy+4}}{xy}.
$$
令 $t=xy$，则当 $(x,y)\to(0,0)$ 时 $t\to 0$，原式化为
$$
\lim_{t\to 0}\frac{2-\sqrt{t+4}}{t}.
$$
分子有理化：
$$
\frac{2-\sqrt{t+4}}{t} = \frac{(2-\sqrt{t+4})(2+\sqrt{t+4})}{t(2+\sqrt{t+4})} = \frac{4-(t+4)}{t(2+\sqrt{t+4})} = \frac{-t}{t(2+\sqrt{t+4})} = \frac{-1}{2+\sqrt{t+4}}.
$$
当 $t\to 0$ 时，分母趋于 $2+\sqrt{4}=4$，所以极限为
$$
-\frac{1}{4}.
$$

---

（4）
求极限
$$
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{\sqrt{2-e^{xy}}-1}.
$$
令 $t=xy$，则当 $(x,y)\to(0,0)$ 时 $t\to 0$，原式化为
$$
\lim_{t\to 0} \frac{t}{\sqrt{2-e^{t}}-1}.
$$
分子分母同时乘以共轭式 $\sqrt{2-e^{t}}+1$：
$$
\frac{t}{\sqrt{2-e^{t}}-1} = \frac{t(\sqrt{2-e^{t}}+1)}{(2-e^{t})-1} = \frac{t(\sqrt{2-e^{t}}+1)}{1-e^{t}}.
$$
利用等价无穷小：当 $t\to 0$ 时，$1-e^{t}\sim -t$，因此
$$
\frac{t(\sqrt{2-e^{t}}+1)}{1-e^{t}} \sim \frac{t(\sqrt{2-1}+1)}{-t} = \frac{2}{-1} = -2.
$$
故极限为 $-2$.

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（5）
求极限
$$
\lim_{(x,y)\to(2,0)} \frac{\tan(xy)}{y}.
$$
令 $t=xy$，则当 $y\to 0$ 时 $t\to 0$，且 $x\to 2$，原式可写为
$$
\lim_{y\to 0} \frac{\tan(2y)}{y}.
$$
利用等价无穷小 $\tan(2y)\sim 2y$，得
$$
\frac{\tan(2y)}{y} \sim \frac{2y}{y}=2.
$$
故极限为 $2$.

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（6）
求极限
$$
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{1-\cos(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)e^{x^2y^2}}.
$$
令 $r^2 = x^2+y^2$，则当 $(x,y)\to(0,0)$ 时 $r\to 0$，且 $e^{x^2y^2}\to e^0=1$。利用等价无穷小：当 $r\to 0$ 时，$1-\cos(r^2)\sim \frac{1}{2}r^4$，因此
$$
\frac{1-\cos(r^2)}{r^2 e^{x^2y^2}} \sim \frac{\frac12 r^4}{r^2\cdot 1} = \frac12 r^2 \to 0.
$$
故极限为 $0$.