同济高数 第9章 第9-1-*7题
📝 题目
＊7．证明下列极限不存在：
（1） $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x+y}{x-y}$ ；
（2） $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} y^{2}}{x^{2} y^{2}+(x-y)^{2}}$ ；
（3） $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{x+y}$ ；
（4） $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{1-\cos (x+y)}{(x+y) x y}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们逐一证明各极限不存在，方法是选取不同路径趋近于 $(0,0)$ 时，极限值不同或不存在。
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（1）
$$
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x+y}{x-y}
$$
证明：
沿路径 $y=0$：
$$
\lim_{x\to 0} \frac{x+0}{x-0} = \lim_{x\to 0} 1 = 1
$$
沿路径 $x=0$：
$$
\lim_{y\to 0} \frac{0+y}{0-y} = \lim_{y\to 0} \frac{y}{-y} = -1
$$
两个路径极限不同，故原极限不存在。
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（2）
$$
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2} y^{2}}{x^{2} y^{2}+(x-y)^{2}}
$$
证明：
沿路径 $y=x$：
$$
\lim_{x\to 0} \frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} x^{2} + (x-x)^{2}} = \lim_{x\to 0} \frac{x^{4}}{x^{4}+0} = 1
$$
沿路径 $y=0$：
$$
\lim_{x\to 0} \frac{x^{2} \cdot 0}{x^{2} \cdot 0 + (x-0)^{2}} = \lim_{x\to 0} \frac{0}{x^{2}} = 0
$$
两个路径极限不同，故原极限不存在。
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（3）
$$
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x y}{x+y}
$$
证明：
沿路径 $y=x$：
$$
\lim_{x\to 0} \frac{x \cdot x}{x+x} = \lim_{x\to 0} \frac{x^{2}}{2x} = \lim_{x\to 0} \frac{x}{2} = 0
$$
沿路径 $y = x^{2} - x$（当 $x\to 0$ 时 $y\to 0$）：
$$
\frac{x y}{x+y} = \frac{x(x^{2}-x)}{x + (x^{2}-x)} = \frac{x^{3} - x^{2}}{x^{2}} = x - 1 \to -1
$$
两个路径极限不同，故原极限不存在。
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（4）
$$
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{1-\cos (x+y)}{(x+y) x y}
$$
证明：
沿路径 $y=x$：
令 $t = x+y = 2x$，则
$$
\frac{1-\cos(2x)}{(2x) \cdot x \cdot x} = \frac{1-\cos(2x)}{2x^{3}}
$$
利用 $1-\cos(2x) \sim \frac{(2x)^{2}}{2} = 2x^{2}$，得
$$
\frac{2x^{2}}{2x^{3}} = \frac{1}{x} \to \infty
$$
沿路径 $y=0$：
$$
\frac{1-\cos(x)}{x \cdot x \cdot 0}
$$
分母为零，分子非零，极限为无穷大（不存在有限极限）。
两路径均不趋于同一有限值，故原极限不存在。
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难度评级：★★☆☆☆
（主要考察多元函数极限不存在的经典路径法，计算较简单，但需注意路径选取技巧）