同济高数 第9章 第9-3-*10题
📝 题目
＊10．设有直角三角形，测得其两直角边的长分别为 $(7 \pm 0.1) \mathrm{cm}$ 和 $(24 \pm 0.1) \mathrm{cm}$ ．试求利用上述两值来计算斜边长度时的绝对误差．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
设直角三角形的两条直角边长度分别为 $a$ 和 $b$，已知
$$
a = 7\,\text{cm},\quad \Delta a = 0.1\,\text{cm},\quad b = 24\,\text{cm},\quad \Delta b = 0.1\,\text{cm}.
$$
斜边长度计算公式为
$$
c = \sqrt{a^2 + b^2}.
$$
首先计算斜边的近似值：
$$
c = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25\,\text{cm}.
$$
利用误差传播公式，绝对误差 $\Delta c$ 可近似表示为
$$
\Delta c \approx \left| \frac{\partial c}{\partial a} \right| \Delta a + \left| \frac{\partial c}{\partial b} \right| \Delta b.
$$
计算偏导数：
$$
\frac{\partial c}{\partial a} = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{a}{c}, \quad
\frac{\partial c}{\partial b} = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{b}{c}.
$$
代入数值：
$$
\frac{\partial c}{\partial a} = \frac{7}{25} = 0.28,\quad
\frac{\partial c}{\partial b} = \frac{24}{25} = 0.96.
$$
因此绝对误差为
$$
\Delta c \approx 0.28 \times 0.1 + 0.96 \times 0.1 = 0.028 + 0.096 = 0.124\,\text{cm}.
$$
所以，斜边长度的绝对误差约为 $0.124\,\text{cm}$。
难度：★★☆☆☆