同济高数 第9章 第9-3-*6题
📝 题目
＊6．计算 $\sqrt{1.02^{3}+1.97^{3}}$ 的近似值．
💡 答案解析
[AI解答]
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我们要求计算 $\sqrt{1.02^{3}+1.97^{3}}$ 的近似值。
考虑函数
$$
f(x,y) = \sqrt{x^{3}+y^{3}}
$$
取 $x_0=1,\ y_0=2$，则
$$
\Delta x = 0.02,\quad \Delta y = -0.03
$$
先计算偏导数：
$$
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{3x^{2}}{2\sqrt{x^{3}+y^{3}}},\quad
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{3y^{2}}{2\sqrt{x^{3}+y^{3}}}
$$
在点 $(1,2)$ 处：
$$
f(1,2) = \sqrt{1^{3}+2^{3}} = \sqrt{1+8} = \sqrt{9} = 3
$$
$$
\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(1,2)} = \frac{3\cdot 1^{2}}{2\cdot 3} = \frac{3}{6} = 0.5
$$
$$
\left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(1,2)} = \frac{3\cdot 2^{2}}{2\cdot 3} = \frac{12}{6} = 2
$$
利用全微分近似公式：
$$
f(1.02,1.97) \approx f(1,2) + f_x(1,2)\cdot \Delta x + f_y(1,2)\cdot \Delta y
$$
代入数值：
$$
\approx 3 + 0.5 \times 0.02 + 2 \times (-0.03) = 3 + 0.01 - 0.06 = 2.95
$$
因此，近似值为
$$
\sqrt{1.02^{3}+1.97^{3}} \approx 2.95
$$
难度：★★☆☆☆