同济高数 第9章 第9-5-2题
📝 题目
2．设 $\displaystyle \ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}=\arctan \frac{y}{x}$ ，求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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我们已知方程
$$
\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}} = \arctan \frac{y}{x}
$$
首先化简左边：
$$
\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}} = \frac{1}{2} \ln (x^{2}+y^{2})
$$
因此原方程为
$$
\frac{1}{2} \ln (x^{2}+y^{2}) = \arctan \frac{y}{x}
$$
两边同时对 $x$ 求导，注意 $y$ 是 $x$ 的函数。
左边求导：
$$
\frac{d}{dx} \left[ \frac{1}{2} \ln (x^{2}+y^{2}) \right]
= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}+y^{2}} \cdot (2x + 2y \frac{dy}{dx})
= \frac{x + y \frac{dy}{dx}}{x^{2}+y^{2}}
$$
右边求导：
$$
\frac{d}{dx} \left[ \arctan \frac{y}{x} \right]
= \frac{1}{1 + \left( \frac{y}{x} \right)^{2}} \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{y}{x} \right)
$$
而
$$
\frac{d}{dx} \left( \frac{y}{x} \right) = \frac{x \frac{dy}{dx} - y}{x^{2}}
$$
因此右边导数为
$$
\frac{1}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}} \cdot \frac{x \frac{dy}{dx} - y}{x^{2}}
= \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}} \cdot \frac{x \frac{dy}{dx} - y}{x^{2}}
= \frac{x \frac{dy}{dx} - y}{x^{2}+y^{2}}
$$
于是得到等式
$$
\frac{x + y \frac{dy}{dx}}{x^{2}+y^{2}} = \frac{x \frac{dy}{dx} - y}{x^{2}+y^{2}}
$$
分母相同且 $x^{2}+y^{2} \neq 0$，两边乘以分母得
$$
x + y \frac{dy}{dx} = x \frac{dy}{dx} - y
$$
移项：
$$
x + y = x \frac{dy}{dx} - y \frac{dy}{dx}
$$
即
$$
x + y = (x - y) \frac{dy}{dx}
$$
因此
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{x + y}{x - y}
$$
难度：★★☆☆☆