同济高数 第9章 第9-6-4题
📝 题目
4．求曲线 $\displaystyle x=\frac{t}{1+t}, y=\frac{1+t}{t}, z=t^{2}$ 在对应于 $t_{0}=1$ 的点处的切线及法平面方程．
💡 答案解析
[AI解答]
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已知曲线参数方程为
$$
x=\frac{t}{1+t},\quad y=\frac{1+t}{t},\quad z=t^{2}
$$
对应点参数 $t_0=1$。
第一步：求对应点的坐标
当 $t=1$ 时：
$$
x_0 = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2},\quad
y_0 = \frac{1+1}{1} = 2,\quad
z_0 = 1^2 = 1
$$
所以点为
$$
\left(\frac12, 2, 1\right)
$$
第二步：求切向量
分别对 $t$ 求导：
$$
x'(t) = \frac{(1+t)-t}{(1+t)^2} = \frac{1}{(1+t)^2}
$$
$$
y'(t) = \frac{t - (1+t)}{t^2} = \frac{-1}{t^2}
$$
$$
z'(t) = 2t
$$
代入 $t=1$：
$$
x'(1) = \frac{1}{(1+1)^2} = \frac{1}{4},\quad
y'(1) = -1,\quad
z'(1) = 2
$$
所以切向量为
$$
\vec{T} = \left( \frac14,\ -1,\ 2 \right)
$$
第三步：切线方程
切线方向向量即 $\vec{T}$，切线方程（对称式）为：
$$
\frac{x - \frac12}{\frac14} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 1}{2}
$$
也可以写为参数形式：
$$
x = \frac12 + \frac14 s,\quad y = 2 - s,\quad z = 1 + 2s,\quad s\in\mathbb{R}
$$
第四步：法平面方程
法平面法向量即切向量，方程为：
$$
\frac14\left(x - \frac12\right) + (-1)(y - 2) + 2(z - 1) = 0
$$
化简：
$$
\frac14 x - \frac18 - y + 2 + 2z - 2 = 0
$$
$$
\frac14 x - y + 2z - \frac18 = 0
$$
两边乘以 8 得整系数形式：
$$
2x - 8y + 16z - 1 = 0
$$
最终答案
切线方程：
$$
\frac{x-\frac12}{\frac14} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z-1}{2}
$$
法平面方程：
$$
2x - 8y + 16z - 1 = 0
$$
难度：★☆☆☆☆