同济高数 第9章 第9-6-6题
📝 题目
6．求曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}-3 x=0, \\ 2 x-3 y+5 z-4=0\end{array}\right.$ 在点 $(1,1,1)$ 处的切线及法平面方程．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求曲线在点 $(1,1,1)$ 处的切线与法平面方程。曲线由两个方程联立给出，第一个是球面，第二个是平面，因此交线是一个圆（或一般空间曲线）。
曲线方程：
$$
\begin{cases}
F(x,y,z) = x^{2}+y^{2}+z^{2}-3x = 0,\\
G(x,y,z) = 2x-3y+5z-4 = 0.
\end{cases}
$$
第一步：求切向量
空间曲线的切向量方向与两个曲面的法向量都垂直，因此切向量 $\mathbf{T}$ 平行于 $\nabla F \times \nabla G$。
计算梯度：
$$
\nabla F = \left(2x-3,\; 2y,\; 2z\right),
$$
在点 $(1,1,1)$ 处：
$$
\nabla F(1,1,1) = (2\cdot1-3,\; 2\cdot1,\; 2\cdot1) = (-1,\;2,\;2).
$$
$$
\nabla G = (2,\; -3,\; 5),
$$
在点 $(1,1,1)$ 处不变。
第二步：计算叉积
$$
\mathbf{T} = \nabla F \times \nabla G =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
-1 & 2 & 2 \\
2 & -3 & 5
\end{vmatrix}.
$$
计算：
$$
\mathbf{i} \cdot (2\cdot5 - 2\cdot(-3)) = \mathbf{i} \cdot (10 + 6) = 16\mathbf{i},
$$
$$
\mathbf{j} \cdot ((-1)\cdot5 - 2\cdot2) = \mathbf{j} \cdot (-5 - 4) = -9\mathbf{j},
$$
注意叉积中第二项是负号：实际为 $-\mathbf{j} \cdot ( (-1)\cdot5 - 2\cdot2 )$，但按行列式展开：
$$
= \mathbf{i}(2\cdot5 - 2\cdot(-3)) - \mathbf{j}((-1)\cdot5 - 2\cdot2) + \mathbf{k}((-1)\cdot(-3) - 2\cdot2)
$$
$$
= \mathbf{i}(10+6) - \mathbf{j}(-5-4) + \mathbf{k}(3 - 4)
$$
$$
= 16\mathbf{i} - \mathbf{j}(-9) + \mathbf{k}(-1) = 16\mathbf{i} + 9\mathbf{j} - \mathbf{k}.
$$
所以切向量可取为：
$$
\mathbf{T} = (16,\; 9,\; -1).
$$
第三步：切线方程
过点 $(1,1,1)$，方向为 $(16,9,-1)$，切线方程：
$$
\frac{x-1}{16} = \frac{y-1}{9} = \frac{z-1}{-1}.
$$
第四步：法平面方程
法平面以切向量为法向量，过点 $(1,1,1)$：
$$
16(x-1) + 9(y-1) + (-1)(z-1) = 0,
$$
化简：
$$
16x - 16 + 9y - 9 - z + 1 = 0,
$$
$$
16x + 9y - z - 24 = 0.
$$
最终答案
切线方程：
$$
\displaystyle{\frac{x-1}{16} = \frac{y-1}{9} = \frac{z-1}{-1}}.
$$
法平面方程：
$$
\displaystyle{16x + 9y - z - 24 = 0}.
$$
难度：★★☆☆☆
（属于空间解析几何与微分几何的基本运算，计算量小，步骤固定，但需注意叉积符号。）