同济高数 第9章 第9-6-7题
📝 题目
7．求出曲线 $x=t, y=t^{2}, z=t^{3}$ 上的点，使在该点的切线平行于平面 $x+2 y+z=4$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求曲线
$$
\begin{cases}
x = t, \\
y = t^2, \\
z = t^3
\end{cases}
$$
上某点处的切线平行于平面
$$
x + 2y + z = 4.
$$
第一步：求曲线的切向量
曲线参数方程为 $\mathbf{r}(t) = (t,\ t^2,\ t^3)$，则切向量为
$$
\mathbf{r}'(t) = (1,\ 2t,\ 3t^2).
$$
第二步：平面的法向量
平面方程为 $x + 2y + z = 4$，法向量为
$$
\mathbf{n} = (1,\ 2,\ 1).
$$
第三步：切线平行于平面的条件
切线平行于平面，意味着切向量垂直于平面的法向量，即
$$
\mathbf{r}'(t) \cdot \mathbf{n} = 0.
$$
计算点积：
$$
(1,\ 2t,\ 3t^2) \cdot (1,\ 2,\ 1) = 1 + 4t + 3t^2 = 0.
$$
第四步：解方程
解二次方程
$$
3t^2 + 4t + 1 = 0,
$$
得
$$
t = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 12}}{6} = \frac{-4 \pm 2}{6}.
$$
所以
$$
t_1 = -\frac{1}{3},\quad t_2 = -1.
$$
第五步：求对应点坐标
- 当 $t = -\dfrac{1}{3}$：
$$
x = -\frac{1}{3},\quad y = \frac{1}{9},\quad z = -\frac{1}{27}.
$$
- 当 $t = -1$：
$$
x = -1,\quad y = 1,\quad z = -1.
$$
因此所求点为
$$
\boxed{\left(-\frac{1}{3},\ \frac{1}{9},\ -\frac{1}{27}\right)} \quad\text{和}\quad \boxed{(-1,\ 1,\ -1)}.
$$
难度：★☆☆☆☆