同济高数 第9章 第9-6-8题
📝 题目
8．求曲面 $\mathrm{e}^{z}-z+x y=3$ 在点 $(2,1,0)$ 处的切平面及法线方程．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
已知曲面方程为
$$
\mathrm{e}^{z} - z + xy = 3
$$
记
$$
F(x, y, z) = \mathrm{e}^{z} - z + xy - 3
$$
则曲面上一点处的切平面法向量为梯度
$$
\nabla F = \left( \frac{\partial F}{\partial x},\ \frac{\partial F}{\partial y},\ \frac{\partial F}{\partial z} \right)
$$
分别求偏导数：
$$
\frac{\partial F}{\partial x} = y,\quad
\frac{\partial F}{\partial y} = x,\quad
\frac{\partial F}{\partial z} = \mathrm{e}^{z} - 1
$$
在给定点 $(2,1,0)$ 处，代入得：
$$
\frac{\partial F}{\partial x}\big|_{(2,1,0)} = 1,\quad
\frac{\partial F}{\partial y}\big|_{(2,1,0)} = 2,\quad
\frac{\partial F}{\partial z}\big|_{(2,1,0)} = \mathrm{e}^{0} - 1 = 0
$$
因此该点处的法向量为
$$
\mathbf{n} = (1,\ 2,\ 0)
$$
切平面方程：
由点法式，过点 $(2,1,0)$ 且法向量为 $(1,2,0)$ 的平面方程为
$$
1\cdot (x - 2) + 2\cdot (y - 1) + 0\cdot (z - 0) = 0
$$
化简得
$$
x - 2 + 2y - 2 = 0 \quad\Rightarrow\quad x + 2y - 4 = 0
$$
法线方程：
方向向量即为法向量 $(1,2,0)$，因此法线的对称式方程为
$$
\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{2},\quad z = 0
$$
最终答案为：
切平面：$\displaystyle x + 2y - 4 = 0$
法线：$\displaystyle \frac{x-2}{1} = \frac{y-1}{2},\ z=0$
难度：★☆☆☆☆