同济高数 第9章 第9-6-9题
📝 题目
9．求曲面 $a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}=1$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 处的切平面及法线方程．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
已知曲面方程为：
$$
a x^{2} + b y^{2} + c z^{2} = 1
$$
设函数
$$
F(x, y, z) = a x^{2} + b y^{2} + c z^{2} - 1
$$
则曲面上点 $(x_0, y_0, z_0)$ 处的法向量为梯度：
$$
\nabla F = \left( \frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z} \right) = (2a x, 2b y, 2c z)
$$
在点 $(x_0, y_0, z_0)$ 处，法向量为：
$$
\mathbf{n} = (2a x_0, 2b y_0, 2c z_0)
$$
切平面方程：
利用点法式，切平面方程为：
$$
2a x_0 (x - x_0) + 2b y_0 (y - y_0) + 2c z_0 (z - z_0) = 0
$$
化简得：
$$
a x_0 (x - x_0) + b y_0 (y - y_0) + c z_0 (z - z_0) = 0
$$
进一步展开：
$$
a x_0 x - a x_0^{2} + b y_0 y - b y_0^{2} + c z_0 z - c z_0^{2} = 0
$$
由于点 $(x_0, y_0, z_0)$ 在曲面上，满足：
$$
a x_0^{2} + b y_0^{2} + c z_0^{2} = 1
$$
代入上式得：
$$
a x_0 x + b y_0 y + c z_0 z = 1
$$
因此切平面方程为：
$$
\boxed{a x_0 x + b y_0 y + c z_0 z = 1}
$$
法线方程：
法线方向向量为 $(a x_0, b y_0, c z_0)$（可约去公因子2），法线方程为：
$$
\frac{x - x_0}{a x_0} = \frac{y - y_0}{b y_0} = \frac{z - z_0}{c z_0}
$$
注意：若某个分母为零，则对应分子也为零处理。
因此法线方程为：
$$
\boxed{\frac{x - x_0}{a x_0} = \frac{y - y_0}{b y_0} = \frac{z - z_0}{c z_0}}
$$
难度：★★☆☆☆