同济高数 第9章 第9-7-2题
📝 题目
2．求函数 $z=\ln (x+y)$ 在抛物线 $y^{2}=4 x$ 上点 $(1,2)$ 处，沿着这抛物线在该点处偏向 $x$ 轴正向的切线方向的方向导数．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求函数 $ z = \ln(x+y) $ 在点 $(1,2)$ 处，沿着抛物线 $ y^2 = 4x $ 在该点处偏向 $x$ 轴正向的切线方向的方向导数。
第一步：求梯度
函数 $ z = \ln(x+y) $ 的偏导数为：
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{x+y}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{x+y}.
$$
在点 $(1,2)$ 处，$ x+y = 3 $，因此：
$$
\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,2)} = \frac{1}{3}, \quad \frac{\partial z}{\partial y}\bigg|_{(1,2)} = \frac{1}{3}.
$$
梯度为：
$$
\nabla z(1,2) = \left( \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right).
$$
第二步：求切线方向向量
抛物线方程为 $ y^2 = 4x $，对 $x$ 求导得：
$$
2y \frac{dy}{dx} = 4 \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}.
$$
在点 $(1,2)$ 处，斜率为：
$$
\frac{dy}{dx}\bigg|_{(1,2)} = \frac{2}{2} = 1.
$$
因此切线方向向量可取为 $(1,1)$，但需注意“偏向 $x$ 轴正向”意味着方向向量的 $x$ 分量为正，这里 $ (1,1) $ 满足条件。
将其单位化：
$$
\text{方向余弦}：\quad \cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}, \quad \cos\beta = \frac{1}{\sqrt{2}}.
$$
第三步：计算方向导数
方向导数公式：
$$
\frac{\partial z}{\partial l}\bigg|_{(1,2)} = \frac{\partial z}{\partial x}\cos\alpha + \frac{\partial z}{\partial y}\cos\beta.
$$
代入：
$$
\frac{\partial z}{\partial l} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{3}.
$$
因此，所求方向导数为：
$$
\boxed{\dfrac{\sqrt{2}}{3}}
$$
难度：★★☆☆☆