同济高数 第9章 第9-8-6题

[AI解答]

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设直角三角形的两条直角边长分别为 $x$ 和 $y$，斜边长为 $l$（常数），则有
$$
x^2 + y^2 = l^2.
$$
该三角形的周长
$$
P = x + y + l.
$$
由于 $l$ 是常数，要使 $P$ 最大，只需使 $x + y$ 最大。

由约束条件 $x^2 + y^2 = l^2$，且 $x>0, y>0$，考虑函数
$$
f(x, y) = x + y, \quad \text{约束 } g(x, y) = x^2 + y^2 - l^2 = 0.
$$
使用拉格朗日乘数法，设
$$
\mathcal{L}(x, y, \lambda) = x + y + \lambda (l^2 - x^2 - y^2).
$$
分别求偏导数并令为零：
$$
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 1 - 2\lambda x = 0 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{1}{2\lambda},
$$
$$
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 1 - 2\lambda y = 0 \quad\Rightarrow\quad y = \frac{1}{2\lambda},
$$
$$
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = l^2 - x^2 - y^2 = 0.
$$
由前两式得 $x = y$，代入第三式：
$$
2x^2 = l^2 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{l}{\sqrt{2}}.
$$
因此两直角边相等，即三角形为等腰直角三角形，此时周长
$$
P_{\max} = \frac{l}{\sqrt{2}} + \frac{l}{\sqrt{2}} + l = l(\sqrt{2} + 1).
$$

所以，有最大周长的直角三角形是等腰直角三角形，两直角边均为 $\displaystyle{\frac{l}{\sqrt{2}}}$。

难度：★★☆☆☆