同济高数 第9章 第9-9-1题
📝 题目
1．求函数 $f(x, y)=2 x^{2}-x y-y^{2}-6 x-3 y+5$ 在点 $(1,-2)$ 的泰勒公式．
💡 答案解析
[AI解答]
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我们要求函数
$$
f(x,y)=2x^{2}-xy-y^{2}-6x-3y+5
$$
在点 $(1,-2)$ 的泰勒公式。由于这是一个二次多项式，泰勒展开到二阶项即为精确表达式。
**第一步：计算函数在点 $(1,-2)$ 的值**
$$
f(1,-2)=2(1)^{2}-(1)(-2)-(-2)^{2}-6(1)-3(-2)+5
$$
逐项计算：
$2(1)=2$，
$- (1)(-2)=+2$，
$-(-2)^{2}=-4$，
$-6(1)=-6$，
$-3(-2)=+6$，
最后 $+5$。
相加：$2+2-4-6+6+5=5$。
所以
$$
f(1,-2)=5.
$$
**第二步：计算一阶偏导数在点 $(1,-2)$ 的值**
$$
f_x = \frac{\partial f}{\partial x}=4x - y -6,
\quad f_x(1,-2)=4(1)-(-2)-6=4+2-6=0.
$$
$$
f_y = \frac{\partial f}{\partial y}= -x -2y -3,
\quad f_y(1,-2)= -1 -2(-2)-3 = -1+4-3=0.
$$
一阶偏导均为零，说明该点是驻点。
第三步：计算二阶偏导数（常数）
$$
f_{xx}=4,\quad f_{xy}=-1,\quad f_{yy}=-2.
$$
这些值在任意点都相同，所以在 $(1,-2)$ 处也是这些常数。
第四步：写出泰勒公式
对于二元函数在点 $(a,b)$ 的泰勒展开到二阶：
$$
f(x,y)=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)
+\frac{1}{2!}\Big[f_{xx}(a,b)(x-a)^2+2f_{xy}(a,b)(x-a)(y-b)+f_{yy}(a,b)(y-b)^2\Big].
$$
代入 $a=1,b=-2$ 及上面结果：
$$
f(x,y)=5+0+0+\frac{1}{2}\Big[4(x-1)^2+2(-1)(x-1)(y+2)+(-2)(y+2)^2\Big].
$$
化简：
$$
f(x,y)=5+2(x-1)^2-(x-1)(y+2)-(y+2)^2.
$$
这就是原函数的精确泰勒公式（因为原函数是二次多项式）。
难度评级：★☆☆☆☆
（直接计算偏导数值并代入公式即可，无复杂运算）