📝 题目
1．计算下列二重积分： （1） $\displaystyle{\iint}_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D=\{(x, y)| | x|\leqslant 1,|y| \leqslant 1\}$ ； （2） $\displaystyle{\iint}_{D}(3 x+2 y) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D$ 是由两坐标轴及直线 $x+y=2$ 所围成的闭区域； （3） $\displaystyle{\iint}_{D}\left(x^{3}+3 x^{2} y+y^{3}\right) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ； （4） $\displaystyle{\iint}_{D} x \cos (x+y) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D$ 是顶点分别为 $(0,0),(\pi, 0)$ 和 $(\pi, \pi)$ 的三角形闭区域； （5） $\displaystyle{\iint}_{D} \sqrt{\left|y-x^{2}\right|} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）** 计算 $$ \iint_D (x^2+y^2)\,d\sigma,\quad D=\{(x,y)\mid |x|\le 1,|y|\le 1\} $$ 区域为正方形，可化为累次积分： $$ \iint_D (x^2+y^2)\,d\sigma = \int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1} (x^2+y^2)\,dx\,dy $$ 先对 $x$ 积分： $$ \int_{-1}^{1} (x^2+y^2)\,dx = \left[\frac{x^3}{3}+y^2x\right]_{-1}^{1} = \left(\frac{1}{3}+y^2\right)-\left(-\frac{1}{3}-y^2\right) = \frac{2}{3}+2y^2 $$ 再对 $y$ 积分： $$ \int_{-1}^{1}\left(\frac{2}{3}+2y^2\right)dy = \left[\frac{2}{3}y+\frac{2}{3}y^3\right]_{-1}^{1} = \left(\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\right)-\left(-\frac{2}{3}-\frac{2}{3}\right) = \frac{4}{3}+\frac{4}{3}=\frac{8}{3} $$ 因此 $$ \boxed{\dfrac{8}{3}} $$
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**（2）** 计算 $$ \iint_D (3x+2y)\,d\sigma,\quad D:\ x\ge 0,\ y\ge 0,\ x+y\le 2 $$ 区域为三角形，$0\le x\le 2,\ 0\le y\le 2-x$，则 $$ \iint_D (3x+2y)\,d\sigma = \int_{0}^{2}\int_{0}^{2-x}(3x+2y)\,dy\,dx $$ 先对 $y$ 积分： $$ \int_{0}^{2-x}(3x+2y)\,dy = \left[3xy+y^2\right]_{0}^{2-x} = 3x(2-x)+(2-x)^2 = 6x-3x^2 + 4-4x+x^2 = 4+2x-2x^2 $$ 再对 $x$ 积分： $$ \int_{0}^{2}(4+2x-2x^2)\,dx = \left[4x+x^2-\frac{2}{3}x^3\right]_{0}^{2} = 8+4-\frac{16}{3}=12-\frac{16}{3}=\frac{20}{3} $$ 因此 $$ \boxed{\dfrac{20}{3}} $$
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**（3）** 计算 $$ \iint_D (x^3+3x^2y+y^3)\,d\sigma,\quad D=[0,1]\times[0,1] $$ 化为累次积分： $$ \iint_D (x^3+3x^2y+y^3)\,dx\,dy = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}(x^3+3x^2y+y^3)\,dx\,dy $$ 先对 $x$ 积分： $$ \int_{0}^{1}(x^3+3x^2y+y^3)\,dx = \left[\frac{x^4}{4}+x^3y+xy^3\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4}+y+y^3 $$ 再对 $y$ 积分： $$ \int_{0}^{1}\left(\frac{1}{4}+y+y^3\right)dy = \left[\frac{1}{4}y+\frac{y^2}{2}+\frac{y^4}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=1 $$ 因此 $$ \boxed{1} $$
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**（4）** 计算 $$ \iint_D x\cos(x+y)\,d\sigma $$ 其中 $D$ 是顶点 $(0,0),(\pi,0),(\pi,\pi)$ 的三角形区域，即 $$ 0\le x\le \pi,\quad 0\le y\le x $$ 化为累次积分： $$ \iint_D x\cos(x+y)\,d\sigma = \int_{0}^{\pi}\int_{0}^{x} x\cos(x+y)\,dy\,dx $$ 先对 $y$ 积分： $$ \int_{0}^{x} x\cos(x+y)\,dy = x\left[\sin(x+y)\right]_{0}^{x} = x\bigl(\sin(2x)-\sin x\bigr) $$ 再对 $x$ 积分： $$ \int_{0}^{\pi} x\bigl(\sin(2x)-\sin x\bigr)\,dx = \int_{0}^{\pi} x\sin(2x)\,dx - \int_{0}^{\pi} x\sin x\,dx $$ 分别用分部积分： $$ \int x\sin(2x)\,dx = -\frac{x}{2}\cos(2x)+\frac{1}{4}\sin(2x) $$ $$ \int x\sin x\,dx = -x\cos x+\sin x $$ 代入上下限： $$ \int_{0}^{\pi} x\sin(2x)\,dx = \left[-\frac{x}{2}\cos(2x)+\frac{1}{4}\sin(2x)\right]_{0}^{\pi} = -\frac{\pi}{2}\cos(2\pi)+0-0 = -\frac{\pi}{2} $$ $$ \int_{0}^{\pi} x\sin x\,dx = \left[-x\cos x+\sin x\right]_{0}^{\pi} = (-\pi\cos\pi+0)-(0+0)= \pi $$ 因此原式 = $-\frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{3\pi}{2}$，即 $$ \boxed{-\dfrac{3\pi}{2}} $$
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**（5）** 计算 $$ \iint_D \sqrt{|y-x^2|}\,dx\,dy,\quad D=[0,1]\times[0,1] $$ 由于绝对值，需分区域： - 当 $y\ge x^2$ 时，$\sqrt{|y-x^2|}=\sqrt{y-x^2}$ - 当 $y 曲线 $y=x^2$ 将正方形分为两部分： 在 $0\le x\le 1$ 上，当 $0\le y\le x^2$ 时用 $\sqrt{x^2-y}$，当 $x^2\le y\le 1$ 时用 $\sqrt{y-x^2}$。 于是 $$ \iint_D = \int_{0}^{1}\int_{0}^{x^2}\sqrt{x^2-y}\,dy\,dx + \int_{0}^{1}\int_{x^2}^{1}\sqrt{y-x^2}\,dy\,dx $$ 先计算第一个积分： 令 $u=x^2-y$，则 $du=-dy$，当 $y=0$ 时 $u=x^2$，当 $y=x^2$ 时 $u=0$， $$ \int_{0}^{x^2}\sqrt{x^2-y}\,dy = \int_{x^2}^{0}\sqrt{u}(-du)=\int_{0}^{x^2}u^{1/2}\,du = \frac{2}{3}x^3 $$ 再计算第二个积分： 令 $v=y-x^2$，则 $dv=dy$，当 $y=x^2$ 时 $v=0$，当 $y=1$ 时 $v=1-x^2$， $$ \int_{x^2}^{1}\sqrt{y-x^2}\,dy = \int_{0}^{1-x^2}v^{1/2}\,dv = \frac{2}{3}(1-x^2)^{3/2} $$ 于是原积分 $$ \int_{0}^{1}\frac{2}{3}x^3\,dx + \int_{0}^{1}\frac{2}{3}(1-x^2)^{3/2}\,dx = \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{4} + \frac{2}{3}\int_{0}^{1}(1-x^2)^{3/2}\,dx = \frac{1}{6} + \frac{2}{3}I $$ 其中 $I=\int_{0}^{1}(1-x^2)^{3/2}\,dx$，令 $x=\sin\theta$，则 $