第10章

共 64 道题目
10-1-1 📝 有解析
第10-1-1题
1．设有一平面薄板（不计其厚度）占有 $x O y$ 面上的闭区域 $D$ ，薄板上分布有面密度为 $\mu=\mu(x, y)$的电荷，且 $\mu(x, y)$ 在 $D$ 上连续，试用二重积分表达该薄板上的全部电荷 $Q$ ．
10-1-2 📝 有解析
第10-1-2题
2．设 $I_{1}=\displaystyle{\iint}_{D_{1}}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D_{1}=\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,-2 \leqslant y \leqslant 2\}$ ；又 $I_{2}=\displaystyle{\iint}_{D_{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D_{2}=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 2\}$ ．试利用二重积分的几何意义说明 $I_{1}$ 与 $I_{2}$ 之间的关系．
10-1-3 📝 有解析
第10-1-3题
3．利用二重积分定义证明： （1） $\displaystyle{\iint}_{D} \mathrm{~d} \sigma=\sigma$（其中 $\sigma$ 为 $D$ 的面积）； （2） $\displaystyle{\iint}_{D} k f(x, y) \mathrm{d} \sigma=k \displaystyle{\iint}_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$（其中 $k$ 为常数）； （3） $\displaystyle{\iint}_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma=\displaystyle{\iint}_{D_{1}} f(x, y) \mathrm{d} \sigma+\displaystyle{\iint}_{D_{2}} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D=D_{1} \cup D_{2}, D_{1}, D_{2}$ 为两个无公共内点的闭区域。
10-1-4 📝 有解析
第10-1-4题
4．试确定积分区域 $D$ ，使二重积分 $\displaystyle{\iint}_{D}\left(1-2 x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 达到最大值．
10-1-5 📝 有解析
第10-1-5题
5．根据二重积分的性质，比较下列积分的大小： （1） $\displaystyle{\iint}_{D}(x+y)^{2} \mathrm{~d} \sigma$ 与 $\displaystyle{\iint}_{D}(x+y)^{3} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中积分区域 $D$ 是由 $x$ 轴、 $y$ 轴与直线 $x+y=1$ 所围成； （2） $\displaystyle{\iint}_{D}(x+y)^{2} \mathrm{~d} \sigma$ 与 $\displaystyle{\iint}_{D}(x+y)^{3} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中积分区域 $D$ 是由圆周 $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=2$ 所围成； （3） $\displaystyle{\iint}_{D} \ln (x+y) \mathrm{d} \sigma$ 与 $\displaystyle{\iint}_{D}[\ln (x+y)]^{2} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D$ 是三角形闭区域，三顶点分别为 $(1,0),(1,1),(2,0)$ ； （4） $\displaystyle{\iint}_{D} \ln (x+y) \mathrm{d} \sigma$ 与 $\displaystyle{\iint}_{D}[\ln (x+y)]^{2} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid 3 \leqslant x \leqslant 5,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
10-1-6 📝 有解析
第10-1-6题
6．计算 $\displaystyle{\iint}_{D}(2+y \cos x+x y \sin y) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ ．
10-1-7 📝 有解析
第10-1-7题
7．利用二重积分的性质估计下列积分的值： （1）$I=\displaystyle{\iint}_{D} x y(x+y) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ； （2）$I=\displaystyle{\iint}_{D} \sin ^{2} x \sin ^{2} y \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant \pi, 0 \leqslant y \leqslant \pi\}$ ； （3）$I=\displaystyle{\iint}_{D}(x+y+1) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 2\}$ ； （4）$I=\displaystyle{\iint}_{D}\left(x^{2}+4 y^{2}+9\right) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 4\right\}$ ．
10-2-1 📝 有解析
第10-2-1题
1．计算下列二重积分： （1） $\displaystyle{\iint}_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D=\{(x, y)| | x|\leqslant 1,|y| \leqslant 1\}$ ； （2） $\displaystyle{\iint}_{D}(3 x+2 y) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D$ 是由两坐标轴及直线 $x+y=2$ 所围成的闭区域； （3） $\displaystyle{\iint}_{D}\left(x^{3}+3 x^{2} y+y^{3}\right) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ； （4） $\displaystyle{\iint}_{D} x \cos (x+y) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D$ 是顶点分别为 $(0,0),(\pi, 0)$ 和 $(\pi, \pi)$ 的三角形闭区域； （5） $\displaystyle{\iint}_{D} \sqrt{\left|y-x^{2}\right|} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
10-2-10 📝 有解析
第10-2-10题
10．求由曲面 $z=x^{2}+2 y^{2}$ 及 $z=6-2 x^{2}-y^{2}$ 所围成的立体的体积．
10-2-11 📝 有解析
第10-2-11题
11．画出积分区域，把积分 $\displaystyle{\iint}_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域 $D$ 是 （1）$\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}\right\}(a\gt 0)$ ； （2）$\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 2 x\right\}$ ； （3）$\left\{(x, y) \mid a^{2} \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant b^{2}\right\}$ ，其中 $0\lt a\lt b$ ； （4）$\{(x, y) \mid 0 \leqslant y \leqslant 1-x, 0 \leqslant x \leqslant 1\}$ ．
10-2-12 📝 有解析
第10-2-12题
12．化下列二次积分为极坐标形式的二次积分： （1） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \mathrm{~d} x \displaystyle{\int}_{0}^{1} f(x, y) \mathrm{d} y$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{0}^{2} \mathrm{~d} x \displaystyle{\int}_{x}^{\sqrt{3} x} f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} y$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \mathrm{~d} x \displaystyle{\int}_{1-x}^{\sqrt{1-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ； （4） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \mathrm{~d} x \displaystyle{\int}_{0}^{x^{2}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
10-2-13 📝 有解析
第10-2-13题
13．把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值： （1） $\displaystyle{\int}_{0}^{2 a} \mathrm{~d} x \displaystyle{\int}_{0}^{\sqrt{2 a x-x^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} y$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{0}^{a} \mathrm{~d} x \displaystyle{\int}_{0}^{x} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \mathrm{~d} x \displaystyle{\int}_{x^{2}}^{x}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{-\frac{1}{2}} \mathrm{~d} y$ ； （4） $\displaystyle{\int}_{0}^{a} \mathrm{~d} y \displaystyle{\int}_{0}^{\sqrt{a^{2}-y^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x$ ．
10-2-14 📝 有解析
第10-2-14题
14．利用极坐标计算下列各题： （1） $\displaystyle{\iint}_{D} \mathrm{e}^{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D$ 是由圆周 $x^{2}+y^{2}=4$ 所围成的闭区域； （2） $\displaystyle{\iint}_{D} \ln \left(1+x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D$ 是由圆周 $x^{2}+y^{2}=1$ 及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域； （3） $\displaystyle{\iint}_{D} \arctan \frac{y}{x} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D$ 是由圆周 $x^{2}+y^{2}=4, x^{2}+y^{2}=1$ 及直线 $y=0, y=x$ 所围成的在第一象限内的闭区域。
10-2-15 📝 有解析
第10-2-15题
15．选用适当的坐标计算下列各题： （1） $\displaystyle{\iint}_{D} \frac{x^{2}}{y^{2}} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D$ 是由直线 $x=2, y=x$ 及曲线 $x y=1$ 所围成的闭区域； （2） $\displaystyle{\iint}_{D} \sqrt{\frac{1-x^{2}-y^{2}}{1+x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D$ 是由圆周 $x^{2}+y^{2}=1$ 及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域； （3） $\displaystyle{\iint}_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D$ 是由直线 $y=x, y=x+a, y=a, y=3 a(a\gt 0)$ 所围成的闭区域； （4） $\displaystyle{\iint}_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D$ 是圆环形闭区域 $\left\{(x, y) \mid \dot{a}^{2} \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant b^{2}\right\}$ ； （5） $\displaystyle{\iint}_{D} \sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D$ 是圆形闭区域 $\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant a x\right\}(a\gt 0)$ ．
10-2-16 📝 有解析
第10-2-16题
16．设平面薄片所占的闭区域 $D$ 由螺线 $\rho=2 \theta$ 上一段弧 $\left(0 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{2}\right)$ 与直线 $\theta=\frac{\pi}{2}$ 所围成，它的 面密度为 $\mu(x, y)=x^{2}+y^{2}$ ．求这薄片的质量（图 10－27）．
10-2-17 📝 有解析
第10-2-17题
17．求由平面 $y=0, y=k x(k\gt 0), z=0$ 以及球心在原点、半径为 $R$ 的上半球面所围成的在第 I 卦限内的立体的体积（图10－28）。 <img src="/static/img/textbook/c9cdc09a82e6.jpg" style="max-width:100%;height:auto;"> <img src="/static/img/textbook/ac6193c4cf76.jpg" style="max-width:100%;height:auto;">
10-2-18 📝 有解析
第10-2-18题
18．计算以 $x O y$ 面上的圆周 $x^{2}+y^{2}=a x(a\gt 0)$ 围成的闭区域为底，而以曲面 $z=x^{2}+y^{2}$ 为顶的曲顶柱体的体积．
10-2-2 📝 有解析
第10-2-2题
2．画出积分区域，并计算下列二重积分： （1） $\displaystyle{\iint}_{D} x \sqrt{y} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D$ 是由两条拖物线 $y=\sqrt{x}, y=x^{2}$ 所围成的闭区域； （2） $\displaystyle{\iint}_{D} x y^{2} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D$ 是由圆周 $x^{2}+y^{2}=4$ 及 $y$ 轴所围成的右半闭区域； （3） $\displaystyle{\iint}_{D} \mathrm{e}^{x+y} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D=\{(x, y)| | x|+|y| \leqslant 1\}$ ； （4） $\displaystyle{\iint}_{D}\left(x^{2}+y^{2}-x\right) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D$ 是由直线 $y=2, y=x$ 及 $y=2 x$ 所围成的闭区域。
10-2-22 📝 有解析
第10-2-22题
22．选取适当的变换，证明下列等式： （1） $\displaystyle{\iint_{D} f(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\displaystyle{\int}_{-1}^{1} f(u) \mathrm{d} u$ ，其中闭区域 $D=\{(x, y)| | x|+|y| \leqslant 1\}$ ； （2） $\displaystyle{\iint_{D} f(a x+b y+c) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=2 \displaystyle{\int}_{-1}^{1} \sqrt{1-u^{2}} f\left(u \sqrt{a^{2}+b^{2}}+c\right) \mathrm{d} u$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ ，且 $a^{2}+ b^{2} \neq 0$ ．
10-2-3 📝 有解析
第10-2-3题
3．如果二重积分 $\displaystyle{\iint}_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 的被积函数 $f(x, y)$ 是两个函数 $f_{1}(x)$ 及 $f_{2}(y)$ 的乘积，即 $f(x, y)=f_{1}(x) \cdot f_{2}(y)$ ，积分区域 $D=\{(x, y) \mid a \leqslant x \leqslant b, c \leqslant y \leqslant d\}$ ，证明这个二重积分等于两个定积分的乘积，即 $$ \displaystyle{\iint_{D} f_{1}(x) \cdot f_{2}(y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\left[\displaystyle{\int}_{a}^{b} f_{1}(x) \mathrm{d} x\right] \cdot\left[\displaystyle{\int}_{c}^{d} f_{2}(y) \mathrm{d} y\right] $$
10-2-4 📝 有解析
第10-2-4题
4．化二重积分 $$ I=\displaystyle{\iint}_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma $$ 为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分），其中积分区域 $D$ 是 （1）由直线 $y=x$ 及抛物线 $y^{2}=4 x$ 所围成的闭区域； （2）由 $x$ 轴及半圆周 $x^{2}+y^{2}=r^{2}(y \geqslant 0)$ 所围成的闭区域； （3）由直线 $y=x, x=2$ 及双曲线 $y=\frac{1}{x}(x>0)$ 所围成的闭区域； （4）环形闭区域 $\left\{(x, y) \mid 1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 4\right\}$ ．
10-2-5 📝 有解析
第10-2-5题
5．设 $f(x, y)$ 在 $D$ 上连续，其中 $D$ 是由直线 $y=x, y=a$ 及 $x=b(b\gt a)$ 所围成的闭区域，证明 $$ \displaystyle{\int}_{a}^{b} \mathrm{~d} x \displaystyle{\int}_{a}^{x} f(x, y) \mathrm{d} y=\displaystyle{\int}_{a}^{b} \mathrm{~d} y \displaystyle{\int}_{y}^{b} f(x, y) \mathrm{d} x $$
10-2-6 📝 有解析
第10-2-6题
6．交换下列二次积分的积分次序： （1） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \mathrm{~d} y \displaystyle{\int}_{0}^{y} f(x, y) \mathrm{d} x$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{0}^{2} \mathrm{~d} y \displaystyle{\int}_{y^{2}}^{2 y} f(x, y) \mathrm{d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \mathrm{~d} y \displaystyle{\int}_{-\sqrt{1-y^{2}}}^{\sqrt{1-y^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} x$ ； （4） $\displaystyle{\int}_{1}^{2} \mathrm{~d} x \displaystyle{\int}_{2-x}^{\sqrt{2 x-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ； （5） $\displaystyle{\int}_{1}^{\mathrm{e}} \mathrm{d} x \displaystyle{\int}_{0}^{\ln x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ； （6） $\displaystyle{\int}_{0}^{\pi} \mathrm{d} x \displaystyle{\int}_{-\sin \frac{x}{2}}^{\sin x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
10-2-7 📝 有解析
第10-2-7题
7．设平面薄片所占的闭区域 $D$ 由直线 $x+y=2, y=x$ 和 $x$ 轴所围成，它的面密度 $\mu(x, y)=x^{2}+y^{2}$ ，求该薄片的质量．
10-2-8 📝 有解析
第10-2-8题
8．计算由四个平面 $x=0, y=0, x=1, y=1$ 所围成的柱体被平面 $z=0$ 及 $2 x+3 y+z=6$ 截得的立体 的体积．
10-2-9 📝 有解析
第10-2-9题
9．求由平面 $x=0, y=0, x+y=1$ 所围成的柱体被平面 $z=0$ 及抛物面 $x^{2}+y^{2}=6-z$ 截得的立体的体积
10-2-*19 📝 有解析
第10-2-*19题
＊19．作适当的变换，计算下列二重积分： （1） $\displaystyle{\iint}_{D}(x-y)^{2} \sin ^{2}(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是平行四边形闭区域，它的四个顶点是 $(\pi, 0),(2 \pi, \pi)$ ， $(\pi, 2 \pi)$ 和 $(0, \pi) ;$ （2） $\displaystyle{\iint}_{D} x^{2} y^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由两条双曲线 $x y=1$ 和 $x y=2$ ，直线 $y=x$ 和 $y=4 x$ 所围成的在第一象限内的闭区域； （3） $\displaystyle{\iint}_{D} \frac{y}{\mathrm{e}^{x+y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由 $x$ 轴、 $y$ 轴和直线 $x+y=1$ 所围成的闭区域； （4） $\displaystyle{\iint}_{D}\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} \leqslant 1\right.\right\}$ ．
10-2-*20 📝 有解析
第10-2-*20题
＊20．求由下列曲线所围成的闭区域 $D$ 的面积： （1）$D$ 是由曲线 $x y=4, x y=8, x y^{3}=5, x y^{3}=15$ 所围成的第一象限部分的闭区域； （2）$D$ 是由曲线 $y=x^{3}, y=4 x^{3}, x=y^{3}, x=4 y^{3}$ 所围成的第一象限部分的闭区域．
10-2-*21 📝 有解析
第10-2-*21题
＊21．设闭区域 $D$ 是由直线 $x+y=1, x=0, y=0$ 所围成，求证 $\displaystyle{\iint}_{D} \cos \left(\frac{x-y}{x+y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\frac{1}{2} \sin 1$ ．
10-3-1 📝 有解析
第10-3-1题
1．化三重积分 $I=\displaystyle{\iiint}_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ 为三次积分，其中积分区域 $\Omega$ 分别是 （1）由双曲抛物面 $x y=z$ 及平面 $x+y-1=0, z=0$ 所围成的闭区域； （2）由曲面 $z=x^{2}+y^{2}$ 及平面 $z=1$ 所围成的闭区域； （3）由曲面 $z=x^{2}+2 y^{2}$ 及 $z=2-x^{2}$ 所围成的闭区域； （4）由曲面 $c z=x y(c\gt 0), \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, z=0$ 所围成的在第 I 卦限内的闭区域．
10-3-11 📝 有解析
第10-3-11题
11．选用适当的坐标计算下列三重积分： （1） $\displaystyle{\iiint}_{\Omega} x y \mathrm{~d} V$ ，其中 $\Omega$ 为柱面 $x^{2}+y^{2}=1$ 及平面 $z=1, z=0, x=0, y=0$ 所围成的在第 I 卦限内的闭区域； ＊（2） $\displaystyle{\iiint} \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\Omega$ 是由球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=z$ 所围成的闭区域； （3） $\displaystyle{\iiint}_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} V$ ，其中 $\Omega$ 是由曲面 $4 z^{2}=25\left(x^{2}+y^{2}\right)$ 及平面 $z=5$ 所围成的闭区域； ＊（4） $\displaystyle{\iiint}_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} V$ ，其中闭区域 $\Omega=\left\{(x, y, z) \mid 0\lt a \leqslant \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \leqslant A, z \geqslant 0\right\}$ ； （5） $\displaystyle{\iiint}_{\Omega}\left(y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} V$ ，其中 $\Omega$ 是由抛物面 $x=y^{2}+z^{2}$ 与圆锥面 $x=2-\sqrt{y^{2}+z^{2}}$ 所围成的闭区域．
10-3-12 📝 有解析
第10-3-12题
12．利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积： （1）$z=6-x^{2}-y^{2}$ 及 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ； ＊（2）$x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 a z(a\gt 0)$ 及 $x^{2}+y^{2}=z^{2}$（含有 $z$ 轴的部分）； （3）$z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 及 $z=x^{2}+y^{2}$ ； （4）$z=\sqrt{5-x^{2}-y^{2}}$ 及 $x^{2}+y^{2}=4 z$ ．
10-3-14 📝 有解析
第10-3-14题
14．求上、下分别为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2$ 和抛物面 $z=x^{2}+y^{2}$ 所围立体的体积．
10-3-2 📝 有解析
第10-3-2题
2．设有一物体占有空间闭区域 $\Omega=\{(x, y, z) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1,0 \leqslant z \leqslant 1\}$ ，在点 $(x, y, z)$ 处的密度为 $\rho(x, y, z)=x+y+z$ ，计算该物体的质量．
10-3-3 📝 有解析
第10-3-3题
3．如果三重积分 $\displaystyle{\iiint}_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ 的被积函数 $f(x, y, z)$ 是三个函数 $f_{1}(x), f_{2}(y), f_{3}(z)$ 的乘积，即 $f(x, y, z)=f_{1}(x) f_{2}(y) f_{3}(z)$ ，积分区域 $\Omega=\{(x, y, z) \mid a \leqslant x \leqslant b, c \leqslant y \leqslant d, l \leqslant z \leqslant m\}$ ，证明这个三重积分等于三个定积分的乘积，即 $$ \displaystyle{\iiint_{\Omega} f_{1}(x) f_{2}(y) f_{3}(z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\displaystyle{\int}_{a}^{b} f_{1}(x) \mathrm{d} x \displaystyle{\int}_{c}^{d} f_{2}(y) \mathrm{d} y \displaystyle{\int}_{l}^{m} f_{3}(z) \mathrm{d} z . $$
10-3-4 📝 有解析
第10-3-4题
4．计算 $\displaystyle{\iiint}_{\Omega} x y^{2} z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Omega$ 是由曲面 $z=x y$ 与平面 $y=x, x=1$ 和 $z=0$ 所围成的闭区域．
10-3-5 📝 有解析
第10-3-5题
5．计算 $\displaystyle{\iiint}_{\Omega} \frac{\mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z}{(1+x+y+z)^{3}}$ ，其中 $\Omega$ 为平面 $x=0, y=0, z=0, x+y+z=1$ 所围成的四面体．
10-3-6 📝 有解析
第10-3-6题
6．计算 $\displaystyle{\iiint}_{\Omega} x y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Omega$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 及三个坐标面所围成的在第 I 卦限内的闭区域。
10-3-7 📝 有解析
第10-3-7题
7．计算 $\displaystyle{\iiint}_{\Omega} x z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Omega$ 是由平面 $z=0, z=y, y=1$ 以及抛物柱面 $y=x^{2}$ 所围成的闭区域．
10-3-8 📝 有解析
第10-3-8题
8．计算 $\displaystyle{\iiint}_{\Omega} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Omega$ 是由锥面 $z=\frac{h}{R} \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与平面 $z=h(R\gt 0, h\gt 0)$ 所围成的闭区域．
10-3-9 📝 有解析
第10-3-9题
9．利用柱面坐标计算下列三重积分： （1） $\displaystyle{\iiint}_{\Omega} z \mathrm{~d} V$ ，其中 $\Omega$ 是由曲面 $z=\sqrt{2-x^{2}-y^{2}}$ 及 $z=x^{2}+y^{2}$ 所围成的闭区域； （2） $\displaystyle{\iiint}_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} V$ ，其中 $\Omega$ 是由曲面 $x^{2}+y^{2}=2 z$ 及平面 $z=2$ 所围成的闭区域．
10-3-*10 📝 有解析
第10-3-*10题
＊10．利用球面坐标计算下列三重积分： （1） $\displaystyle{\iiint}_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} V$ ，其中 $\Omega$ 是由球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 所围成的闭区域； （2） $\displaystyle{\iiint}_{\Omega} z \mathrm{~d} V$ ，其中闭区域 $\Omega=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+(z-a)^{2} \leqslant a^{2}, x^{2}+y^{2} \leqslant z^{2}\right\}$ ．
10-3-*13 📝 有解析
第10-3-*13题
＊13．求球体 $r \leqslant a$ 位于雉面 $\varphi=\frac{\pi}{3}$ 和 $\varphi=\frac{2}{3} \pi$ 之间的部分的体积．
10-3-*15 📝 有解析
第10-3-*15题
＊15．球心在原点、半径为 $R$ 的球，在其上任意一点的密度的大小与这点到球心的距离成正比，求这球的质量．
10-4-1 📝 有解析
第10-4-1题
1．求球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 含在圆柱面 $x^{2}+y^{2}=a x$ 内部的那部分面积．
10-4-10 📝 有解析
第10-4-10题
10．设均匀薄片（面密度为常数 1 ）所占闭区域 $D$ 如下，求指定的转动惯量： （1）$D=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} \leqslant 1\right.\right\}$ ，求 $I_{y}$ ； （2）$D$ 由抛物线 $y^{2}=\frac{9}{2} x$ 与直线 $x=2$ 所围成，求 $I_{x}$ 和 $I_{y}$ ； （3）$D$ 为矩形闭区域 $\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant a, 0 \leqslant y \leqslant b\}$ ，求 $I_{x}$ 和 $I_{y}$ ．
10-4-11 📝 有解析
第10-4-11题
11．已知均匀矩形板（面密度为常量 $\mu$ ）的长和宽分别为 $b$ 和 $h$ ，计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量．
10-4-12 📝 有解析
第10-4-12题
12．一均匀物体（密度 $\rho$ 为常量）占有的闭区域 $\Omega$ 由曲面 $z=x^{2}+y^{2}$ 和平面 $z=0,|x|=a,|y|=a$ 所围成， （1）求物体的体积； （2）求物体的质心； （3）求物体关于 $z$ 轴的转动惯量．
10-4-13 📝 有解析
第10-4-13题
13．求半径为 $a$ 、高为 $h$ 的均匀圆柱体对于过中心而平行于母线的轴的转动惯量（设密度 $\rho=1$ ）．
10-4-14 📝 有解析
第10-4-14题
14．设面密度为常量 $\mu$ 的质量均匀的半圆环形薄片占有闭区域 $D=\left\{(x, y, 0) \mid R_{1} \leqslant \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leqslant\right. \left.R_{2}, x \geqslant 0\right\}$ ，求它对位于 $z$ 轴上点 $M_{0}(0,0, a)(a\gt 0)$ 处单位质量的质点的引力 $\boldsymbol{F}$ ．
10-4-15 📝 有解析
第10-4-15题
15．设均匀柱体密度为 $\rho_{0}$ ，占有闭区域 $\Omega=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant R^{2}, 0 \leqslant z \leqslant h\right\}$ ，求它对位于点 $M_{0}(0,0, a)(a\gt h)$ 处的单位质量的质点的引力．
10-4-2 📝 有解析
第10-4-2题
2．求雉面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被柱面 $z^{2}=2 x$ 所割下部分的曲面面积．
10-4-3 📝 有解析
第10-4-3题
3．求底圆半径相等的两个直交圆柱面 $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ 及 $x^{2}+z^{2}=R^{2}$ 所围立体的表面积．
10-4-4 📝 有解析
第10-4-4题
4．设 $\Sigma$ 为一确定球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}$（ $R$ 为正的常数），另有一球心在 $\Sigma$ 上、半径为 $r$ 的球面 $\Sigma_{1}$ ，问 $r$ 取何值时，球面 $\Sigma_{1}$ 在球面 $\Sigma$ 内部的那部分面积最大？
10-4-5 📝 有解析
第10-4-5题
5．设薄片所占的闭区域 $D$ 如下，求均匀薄片的质心： （1）$D$ 由 $y=\sqrt{2 p x}, x=x_{0}, y=0$ 所围成； （2）$D$ 是半椭圆形闭区域 $\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} \leqslant 1\right., y \geqslant 0\right\}$ ； （3）$D$ 是界于两个圆 $\rho=a \cos \theta, \rho=b \cos \theta(0\lt a\lt b)$ 之间的闭区域．
10-4-6 📝 有解析
第10-4-6题
6．设平面薄片所占的闭区域 $D$ 由抛物线 $y=x^{2}$ 及直线 $y=x$ 所围成，它在点 $(x, y)$ 处的面密度 $\mu(x, y)=x^{2} y$ ，求该薄片的质心．
10-4-7 📝 有解析
第10-4-7题
7．设有一等腰直角三角形薄片，腰长为 $a$ ，各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的平方，求这薄片的质心。
10-4-8 📝 有解析
第10-4-8题
8．利用三重积分计算下列由曲面所围立体的质心（设密度 $\rho=1$ ）： （1）$z^{2}=x^{2}+y^{2}, z=1$ ； ＊（2）$z=\sqrt{A^{2}-x^{2}-y^{2}}, z=\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}} \quad(A\gt a\gt 0), z=0$ ； （3）$z=x^{2}+y^{2}, x+y=a, x=0, y=0, z=0$ ．
10-4-*9 📝 有解析
第10-4-*9题
＊9．设球占有闭区域 $\Omega=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 2 R z\right\}$ ，它在内部各点处的密度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方．试求这球的质心．
10-5-1 📝 有解析
第10-5-1题
1．求下列含参变量的积分所确定的函数的极限： （1） $\displaystyle{\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle{\int}_{x}^{1+x} \frac{\mathrm{~d} y}{1+x^{2}+y^{2}}$ ； （2） $\displaystyle{\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle{\int}_{-1}^{1} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y$ ； （3） $\displaystyle{\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle{\int}_{0}^{2} y^{2} \cos (x y) \mathrm{d} y$ ．
10-5-2 📝 有解析
第10-5-2题
2．求下列函数的导数： （1）$\varphi(x)=\displaystyle{\int}_{\sin x}^{\cos x}\left(y^{2} \sin x-y^{3}\right) \mathrm{d} y$ ； （2）$\varphi(x)=\displaystyle{\int}_{0}^{x} \frac{\ln (1+x y)}{y} \mathrm{~d} y$ ； （3）$\varphi(x)=\displaystyle{\int}_{x^{2}}^{x^{3}} \arctan \frac{y}{x} \mathrm{~d} y$ ； （4）$\varphi(x)=\displaystyle{\int}_{x}^{x^{2}} \mathrm{e}^{-x y^{2}} \mathrm{~d} y$ ．
10-5-3 📝 有解析
第10-5-3题
3．设 $F(x)=\displaystyle{\int}_{0}^{x}(x+y) f(y) \mathrm{d} y$ ，其中 $f(y)$ 为可微的函数，求 $F^{\prime \prime}(x)$ ．
10-5-4 📝 有解析
第10-5-4题
4．应用对参数的微分法，计算下列积分： （1）$I=\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \frac{1+a \cos x}{1-a \cos x} \cdot \frac{\mathrm{~d} x}{\cos x}(|a|\lt 1)$ ； （2）$I=\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \left(\cos ^{2} x+a^{2} \sin ^{2} x\right) \mathrm{d} x(a\gt 0)$ ．
10-5-5 📝 有解析
第10-5-5题
5．计算下列积分： （1） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \frac{\arctan x}{x} \frac{\mathrm{~d} x}{\sqrt{1-x^{2}}}$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \sin \left(\ln \frac{1}{x}\right) \frac{x^{b}-x^{a}}{\ln x} \mathrm{~d} x(0\lt a\lt b)$ ．