📝 题目
5．设薄片所占的闭区域 $D$ 如下，求均匀薄片的质心： （1）$D$ 由 $y=\sqrt{2 p x}, x=x_{0}, y=0$ 所围成； （2）$D$ 是半椭圆形闭区域 $\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} \leqslant 1\right., y \geqslant 0\right\}$ ； （3）$D$ 是界于两个圆 $\rho=a \cos \theta, \rho=b \cos \theta(0\lt a\lt b)$ 之间的闭区域．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
**（1）** 区域 $D$ 由 $y=\sqrt{2px}$, $x=x_0$, $y=0$ 所围成。 由于薄片均匀，设面密度为常数 $\mu$，则质心坐标公式为 $$ \bar{x} = \frac{\iint_D x\,dA}{\iint_D dA},\quad \bar{y} = \frac{\iint_D y\,dA}{\iint_D dA}. $$
先求面积： $$ A = \iint_D dA = \int_{0}^{x_0} \int_{0}^{\sqrt{2px}} dy\,dx = \int_{0}^{x_0} \sqrt{2p}\, x^{1/2} dx = \sqrt{2p} \cdot \frac{2}{3} x_0^{3/2}. $$
再求对 $x$ 的静矩： $$ M_y = \iint_D x\,dA = \int_{0}^{x_0} x \cdot \sqrt{2px}\, dx = \sqrt{2p} \int_{0}^{x_0} x^{3/2} dx = \sqrt{2p} \cdot \frac{2}{5} x_0^{5/2}. $$
对 $y$ 的静矩： $$ M_x = \iint_D y\,dA = \int_{0}^{x_0} \int_{0}^{\sqrt{2px}} y\,dy\,dx = \int_{0}^{x_0} \frac{1}{2} (2px)\, dx = p \int_{0}^{x_0} x\,dx = p \cdot \frac{x_0^2}{2}. $$
于是质心为： $$ \bar{x} = \frac{M_y}{A} = \frac{\sqrt{2p}\cdot\frac{2}{5}x_0^{5/2}}{\sqrt{2p}\cdot\frac{2}{3}x_0^{3/2}} = \frac{3}{5}x_0, $$ $$ \bar{y} = \frac{M_x}{A} = \frac{\frac{p x_0^2}{2}}{\frac{2\sqrt{2p}}{3}x_0^{3/2}} = \frac{3}{4}\sqrt{\frac{p x_0}{2}}. $$
因此质心坐标为 $\displaystyle \left( \frac{3}{5}x_0,\; \frac{3}{4}\sqrt{\frac{p x_0}{2}} \right)$。
---
**（2）** 半椭圆区域：$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le 1,\; y\ge 0$。 面积：半椭圆面积为 $\displaystyle A = \frac{1}{2}\pi a b$。
由对称性，$\bar{x}=0$。 计算 $\bar{y}$： $$ \bar{y} = \frac{1}{A}\iint_D y\,dA. $$
用广义极坐标：令 $x = a r\cos\theta,\; y = b r\sin\theta$，雅可比为 $ab\,r$，且 $0\le r\le 1,\; 0\le\theta\le\pi$。 则 $$ \iint_D y\,dA = \int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1} (b r\sin\theta)\cdot ab\,r\,dr\,d\theta = a b^2 \int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta \int_{0}^{1} r^2 dr = a b^2 \cdot [-\cos\theta]_{0}^{\pi} \cdot \frac{1}{3} = a b^2 \cdot (2) \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3} a b^2. $$
因此 $$ \bar{y} = \frac{\frac{2}{3}ab^2}{\frac{1}{2}\pi a b} = \frac{4b}{3\pi}. $$
质心为 $\displaystyle \left(0,\; \frac{4b}{3\pi}\right)$。
---
**（3）** 区域介于 $\rho = a\cos\theta$ 与 $\rho = b\cos\theta$，且 $0 面积： $$ A = \iint_D dA = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \int_{a\cos\theta}^{b\cos\theta} \rho\,d\rho\,d\theta = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1}{2}\left( b^2\cos^2\theta - a^2\cos^2\theta \right) d\theta = \frac{b^2-a^2}{2} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^2\theta\,d\theta. $$ 由于 $\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^2\theta\,d\theta = \frac{\pi}{2}$，所以 $$ A = \frac{b^2-a^2}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi(b^2-a^2)}{4}. $$ 由对称性（关于 $x$ 轴对称且区域对称），$\bar{y}=0$。 计算 $\bar{x}$： $$ \bar{x} = \frac{1}{A}\iint_D x\,dA = \frac{1}{A}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \int_{a\cos\theta}^{b\cos\theta} (\rho\cos\theta)\,\rho\,d\rho\,d\theta. $$ 先对 $\rho$ 积分： $$ \int_{a\cos\theta}^{b\cos\theta} \rho^2 d\rho = \frac{1}{3}\left( b^3\cos^3\theta - a^3\cos^3\theta \right) = \frac{b^3-a^3}{3}\cos^3\theta. $$ 于是 $$ \iint_D x\,dA = \frac{b^3-a^3}{3} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^4\theta\,d\theta. $$ 已知 $\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^4\theta\,d\theta = \frac{3\pi}{8}$，所以 $$ \iint_D x\,dA = \frac{b^3-a^3}{3} \cdot \frac{3\pi}{8} = \frac{\pi(b^3-a^3)}{8}. $$ 因此 $$ \bar{x} = \frac{\frac{\pi(b^3-a^3)}{8}}{\frac{\pi(b^2-a^2)}{4}} = \frac{b^3-a^3}{2(b^2-a^2)} = \frac{(b-a)(b^2+ab+a^2)}{2(b-a)(b+a)} = \frac{a^2+ab+b^2}{2(a+b)}. $$ 质心为 $\displaystyle \left( \frac{a^2+ab+b^2}{2(a+b)},\; 0 \right)$。 --- **难度评级**：★★★☆☆ （涉及二重积分、极坐标变换、对称性运用，计算量中等，但思路常规。）