📝 题目
4．设 $\Sigma$ 为一确定球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}$（ $R$ 为正的常数），另有一球心在 $\Sigma$ 上、半径为 $r$ 的球面 $\Sigma_{1}$ ，问 $r$ 取何值时，球面 $\Sigma_{1}$ 在球面 $\Sigma$ 内部的那部分面积最大？
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们设固定球面 $\Sigma$ 为 $$ x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2} $$ 另一球面 $\Sigma_{1}$ 的球心在 $\Sigma$ 上，不妨取球心为 $(0,0,R)$，半径为 $r$。则 $\Sigma_{1}$ 的方程为 $$ x^{2}+y^{2}+(z-R)^{2}=r^{2}. $$
两球相交部分，我们关心 $\Sigma_{1}$ 落在 $\Sigma$ 内部的那部分面积。 两球球心距离为 $d=R$。两球相交的条件是 $$ |R-r| < R < R+r $$ 即 $0 $\Sigma_{1}$ 被 $\Sigma$ 切割，切割线到 $\Sigma_{1}$ 球冠的底面距离可用几何关系求得。 设从 $\Sigma_{1}$ 的球心到交线平面的距离为 $h$，由余弦定理： $$ h = \frac{R^{2}+r^{2}-R^{2}}{2r} = \frac{r^{2}}{2r} = \frac{r}{2}. $$ 注意这里公式：两球球心距 $d=R$，则从 $\Sigma_{1}$ 球心到交线平面的距离为 $$ h = \frac{d^{2}+r^{2}-R^{2}}{2d} = \frac{R^{2}+r^{2}-R^{2}}{2R} = \frac{r^{2}}{2R}. $$ 上面我犯了个笔误，更正： 正确公式：若两球半径分别为 $R$（固定球）和 $r$（动球），球心距为 $R$，则从动球球心到交线平面的距离为 $$ h = \frac{R^{2}+r^{2}-R^{2}}{2R} = \frac{r^{2}}{2R}. $$ 于是，$\Sigma_{1}$ 在 $\Sigma$ 内部的部分是一个球冠，其高度（从交线平面到球冠顶端）为 $$ H = r - h = r - \frac{r^{2}}{2R}. $$ 球冠面积公式：半径为 $r$ 的球，高度为 $H$ 的球冠面积为 $$ S = 2\pi r H. $$ 因此 $$ S(r) = 2\pi r\left(r - \frac{r^{2}}{2R}\right) = 2\pi r^{2} - \frac{\pi r^{3}}{R}. $$ 定义域：球冠存在要求 $0 < r < 2R$（否则不相交或整个球都在内部/外部）。 求最大值： $$ S'(r) = 4\pi r - \frac{3\pi r^{2}}{R} = \pi r\left(4 - \frac{3r}{R}\right). $$ 令 $S'(r)=0$，得 $$ r=0 \quad (\text{舍去}), \quad r = \frac{4R}{3}. $$ 且 $r = \frac{4R}{3} < 2R$，在定义域内。 二阶导数 $$ S''(r) = 4\pi - \frac{6\pi r}{R}, $$ 代入 $r = \frac{4R}{3}$ 得 $$ S''\left(\frac{4R}{3}\right) = 4\pi - \frac{6\pi}{R}\cdot\frac{4R}{3} = 4\pi - 8\pi = -4\pi < 0, $$ 故为极大值点，也是最大值点。 因此，当 $r = \dfrac{4R}{3}$ 时，球面 $\Sigma_{1}$ 在 $\Sigma$ 内部的那部分面积最大。 难度：★★☆☆☆