📝 题目
10．设均匀薄片（面密度为常数 1 ）所占闭区域 $D$ 如下，求指定的转动惯量： （1）$D=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} \leqslant 1\right.\right\}$ ，求 $I_{y}$ ； （2）$D$ 由抛物线 $y^{2}=\frac{9}{2} x$ 与直线 $x=2$ 所围成，求 $I_{x}$ 和 $I_{y}$ ； （3）$D$ 为矩形闭区域 $\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant a, 0 \leqslant y \leqslant b\}$ ，求 $I_{x}$ 和 $I_{y}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）** 区域 $D=\left\{(x,y)\mid \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\le 1\right\}$，面密度 $\rho=1$，求 $I_y$。
转动惯量公式： $$ I_y = \iint_D x^2 \, d\sigma $$ 作广义极坐标变换： $$ x = a r\cos\theta,\quad y = b r\sin\theta,\quad 0\le r\le 1,\ 0\le\theta\le 2\pi $$ 雅可比行列式： $$ \frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)} = ab\,r $$ 于是： $$ I_y = \iint_D x^2\,d\sigma = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} (a r\cos\theta)^2 \cdot ab\,r\,dr\,d\theta = a^3 b \int_{0}^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta \int_{0}^{1} r^3\,dr $$ 计算： $$ \int_{0}^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta = \pi,\quad \int_{0}^{1} r^3\,dr = \frac{1}{4} $$ 所以： $$ I_y = a^3 b \cdot \pi \cdot \frac{1}{4} = \frac{\pi a^3 b}{4} $$
**（2）** 区域 $D$ 由抛物线 $y^2 = \frac{9}{2}x$ 与直线 $x=2$ 围成，面密度为1，求 $I_x$ 和 $I_y$。
先确定积分区域：抛物线顶点在原点，开口向右，与 $x=2$ 交于： $$ y^2 = \frac{9}{2}\cdot 2 = 9 \Rightarrow y = \pm 3 $$ 区域关于 $x$ 轴对称，可先对 $y$ 积分。
**求 $I_x$**： $$ I_x = \iint_D y^2\,d\sigma = \int_{x=0}^{2}\int_{y=-\sqrt{\frac{9}{2}x}}^{\sqrt{\frac{9}{2}x}} y^2\,dy\,dx $$ 先对 $y$ 积分： $$ \int_{-\sqrt{\frac{9}{2}x}}^{\sqrt{\frac{9}{2}x}} y^2\,dy = \frac{2}{3}\left(\sqrt{\frac{9}{2}x}\right)^3 = \frac{2}{3}\left(\frac{9}{2}x\right)^{3/2} = \frac{2}{3} \cdot \left(\frac{9}{2}\right)^{3/2} x^{3/2} $$ 计算系数： $$ \left(\frac{9}{2}\right)^{3/2} = \left(\frac{9}{2}\right)\sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{9}{2}\cdot\frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{27}{2\sqrt{2}} $$ 乘以 $\frac{2}{3}$ 得： $$ \frac{2}{3}\cdot\frac{27}{2\sqrt{2}} = \frac{9}{\sqrt{2}} $$ 所以： $$ I_x = \int_{0}^{2} \frac{9}{\sqrt{2}} x^{3/2}\,dx = \frac{9}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{5} x^{5/2}\Big|_{0}^{2} = \frac{18}{5\sqrt{2}} \cdot (2^{5/2}) $$ 而 $2^{5/2}=4\sqrt{2}$，故： $$ I_x = \frac{18}{5\sqrt{2}} \cdot 4\sqrt{2} = \frac{72}{5} $$
**求 $I_y$**： $$ I_y = \iint_D x^2\,d\sigma = \int_{x=0}^{2}\int_{y=-\sqrt{\frac{9}{2}x}}^{\sqrt{\frac{9}{2}x}} x^2\,dy\,dx $$ 先对 $y$ 积分： $$ \int_{-\sqrt{\frac{9}{2}x}}^{\sqrt{\frac{9}{2}x}} dy = 2\sqrt{\frac{9}{2}x} = 2\cdot\frac{3}{\sqrt{2}}\sqrt{x} = 3\sqrt{2}\,x^{1/2} $$ 于是： $$ I_y = \int_{0}^{2} x^2 \cdot 3\sqrt{2}\,x^{1/2}\,dx = 3\sqrt{2} \int_{0}^{2} x^{5/2}\,dx = 3\sqrt{2} \cdot \frac{2}{7} x^{7/2}\Big|_{0}^{2} = \frac{6\sqrt{2}}{7} \cdot 2^{7/2} $$ 而 $2^{7/2}=2^3\cdot\sqrt{2}=8\sqrt{2}$，所以： $$ I_y = \frac{6\sqrt{2}}{7} \cdot 8\sqrt{2} = \frac{6\cdot 8 \cdot 2}{7} = \frac{96}{7} $$
**（3）** 矩形区域 $0\le x\le a,\ 0\le y\le b$，面密度1，求 $I_x$ 和 $I_y$。
$$ I_x = \iint_D y^2\,d\sigma = \int_{0}^{a}\int_{0}^{b} y^2\,dy\,dx = \int_{0}^{a} \left[\frac{y^3}{3}\right]_{0}^{b} dx = \int_{0}^{a} \frac{b^3}{3}\,dx = \frac{ab^3}{3} $$
$$ I_y = \iint_D x^2\,d\sigma = \int_{0}^{b}\int_{0}^{a} x^2\,dx\,dy = \int_{0}^{b} \frac{a^3}{3}\,dy = \frac{a^3 b}{3} $$
**最终答案：** $$ \boxed{(1)\ I_y=\frac{\pi a^3 b}{4}}\quad \boxed{(2)\ I_x=\frac{72}{5},\ I_y=\frac{96}{7}}\quad \boxed{(3)\ I_x=\frac{ab^3}{3},\ I_y=\frac{a^3 b}{3}} $$
难度：★★☆☆☆