📝 题目
16．设平面薄片所占的闭区域 $D$ 由螺线 $\rho=2 \theta$ 上一段弧 $\left(0 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{2}\right)$ 与直线 $\theta=\frac{\pi}{2}$ 所围成，它的
面密度为 $\mu(x, y)=x^{2}+y^{2}$ ．求这薄片的质量（图 10－27）．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**步骤1：确定积分区域与质量公式** 薄片质量公式为 $$ M = \iint_D \mu(x,y)\, \mathrm{d}\sigma $$ 已知面密度 $\mu(x,y) = x^2 + y^2$，在极坐标下 $x^2 + y^2 = \rho^2$，面积元 $\mathrm{d}\sigma = \rho\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\theta$。 区域 $D$ 由螺线 $\rho = 2\theta$（$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$）与直线 $\theta = \frac{\pi}{2}$ 围成，即对每个固定的 $\theta$，$\rho$ 从 $0$ 到 $2\theta$，$\theta$ 从 $0$ 到 $\frac{\pi}{2}$。
**步骤2：化为极坐标下的累次积分** $$ M = \int_{\theta=0}^{\pi/2} \int_{\rho=0}^{2\theta} \rho^2 \cdot \rho \,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\theta = \int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{2\theta} \rho^3 \,\mathrm{d}\rho \,\mathrm{d}\theta $$
**步骤3：先对 $\rho$ 积分** $$ \int_{0}^{2\theta} \rho^3 \,\mathrm{d}\rho = \left.\frac{\rho^4}{4}\right|_{0}^{2\theta} = \frac{(2\theta)^4}{4} = \frac{16\theta^4}{4} = 4\theta^4 $$
**步骤4：再对 $\theta$ 积分** $$ M = \int_{0}^{\pi/2} 4\theta^4 \,\mathrm{d}\theta = 4 \cdot \left.\frac{\theta^5}{5}\right|_{0}^{\pi/2} = \frac{4}{5} \left(\frac{\pi}{2}\right)^5 = \frac{4}{5} \cdot \frac{\pi^5}{32} = \frac{\pi^5}{40} $$
**最终答案** $$ \boxed{\dfrac{\pi^{5}}{40}} $$
难度：★★☆☆☆ （涉及极坐标二重积分与简单幂函数积分，计算量较小，但需正确理解区域边界）