📝 题目
6．交换下列二次积分的积分次序： （1） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \mathrm{~d} y \displaystyle{\int}_{0}^{y} f(x, y) \mathrm{d} x$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{0}^{2} \mathrm{~d} y \displaystyle{\int}_{y^{2}}^{2 y} f(x, y) \mathrm{d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \mathrm{~d} y \displaystyle{\int}_{-\sqrt{1-y^{2}}}^{\sqrt{1-y^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} x$ ； （4） $\displaystyle{\int}_{1}^{2} \mathrm{~d} x \displaystyle{\int}_{2-x}^{\sqrt{2 x-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ； （5） $\displaystyle{\int}_{1}^{\mathrm{e}} \mathrm{d} x \displaystyle{\int}_{0}^{\ln x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ； （6） $\displaystyle{\int}_{0}^{\pi} \mathrm{d} x \displaystyle{\int}_{-\sin \frac{x}{2}}^{\sin x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
以下依次交换各题积分次序，并给出对应的积分区域描述与新次序。
---
### （1） 原积分： $$ I = \int_{0}^{1} \mathrm{d}y \int_{0}^{y} f(x,y)\,\mathrm{d}x $$ 积分区域： $$ 0 \le y \le 1,\quad 0 \le x \le y $$ 等价描述为： $$ 0 \le x \le 1,\quad x \le y \le 1 $$ 交换次序得： $$ I = \int_{0}^{1} \mathrm{d}x \int_{x}^{1} f(x,y)\,\mathrm{d}y $$
---
### （2） 原积分： $$ I = \int_{0}^{2} \mathrm{d}y \int_{y^{2}}^{2y} f(x,y)\,\mathrm{d}x $$ 曲线 $x = y^2$ 与 $x = 2y$ 交点为： $$ y^2 = 2y \Rightarrow y(y-2)=0 \Rightarrow y=0,2 $$ 区域描述： $$ 0 \le y \le 2,\quad y^2 \le x \le 2y $$ 改写为 $x$ 型区域： 曲线 $y = \sqrt{x}$（下支）与 $y = \frac{x}{2}$（上支），注意 $x$ 范围： 当 $y=0$ 时 $x=0$，当 $y=2$ 时 $x=4$，但两曲线交点： 解 $\sqrt{x} = \frac{x}{2} \Rightarrow x=0,4$，所以： $$ 0 \le x \le 4,\quad \frac{x}{2} \le y \le \sqrt{x} $$ 交换次序得： $$ I = \int_{0}^{4} \mathrm{d}x \int_{\frac{x}{2}}^{\sqrt{x}} f(x,y)\,\mathrm{d}y $$
---
### （3） 原积分： $$ I = \int_{0}^{1} \mathrm{d}y \int_{-\sqrt{1-y^{2}}}^{\sqrt{1-y^{2}}} f(x,y)\,\mathrm{d}x $$ 区域：$0 \le y \le 1$，$-\sqrt{1-y^2} \le x \le \sqrt{1-y^2}$，即右半单位圆的上半部分（$x$ 从负到正，$y$ 从 0 到 1）。 改写为 $x$ 型： 由 $x^2 + y^2 = 1$，$y = \sqrt{1-x^2}$，且 $x \in [-1,1]$，$y$ 从 0 到 $\sqrt{1-x^2}$，得： $$ I = \int_{-1}^{1} \mathrm{d}x \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} f(x,y)\,\mathrm{d}y $$
---
### （4） 原积分： $$ I = \int_{1}^{2} \mathrm{d}x \int_{2-x}^{\sqrt{2x-x^{2}}} f(x,y)\,\mathrm{d}y $$ 区域： $1 \le x \le 2$，下边界 $y = 2-x$（直线），上边界 $y = \sqrt{2x-x^2} = \sqrt{1-(x-1)^2}$（圆心 $(1,0)$ 半径 1 的上半圆）。 交点：解 $2-x = \sqrt{2x-x^2}$，平方得 $(2-x)^2 = 2x - x^2$，即 $4 - 4x + x^2 = 2x - x^2 \Rightarrow 2x^2 - 6x + 4 = 0 \Rightarrow x^2 - 3x + 2 = 0 \Rightarrow x=1,2$。 因此区域也可用 $y$ 描述： $y$ 从 0 到 1（因为半圆最高点 $y=1$），对于每个 $y$， 左边界来自直线 $x = 2-y$，右边界来自半圆 $x = 1 + \sqrt{1-y^2}$，注意 $x$ 范围从 1 到 2。 于是： $$ I = \int_{0}^{1} \mathrm{d}y \int_{2-y}^{1+\sqrt{1-y^{2}}} f(x,y)\,\mathrm{d}x $$
---
### （5） 原积分： $$ I = \int_{1}^{\mathrm{e}} \mathrm{d}x \int_{0}^{\ln x} f(x,y)\,\mathrm{d}y $$ 区域： $1 \le x \le e$，$0 \le y \le \ln x$。 改写为 $y$ 型： $y$ 从 0 到 1（因为 $\ln e = 1$），对于每个 $y$，$x$ 从 $e^y$ 到 $e$，得： $$ I = \int_{0}^{1} \mathrm{d}y \int_{e^{y}}^{\mathrm{e}} f(x,y)\,\mathrm{d}x $$
---
### （6） 原积分： $$ I = \int_{0}^{\pi} \mathrm{d}x \int_{-\sin\frac{x}{2}}^{\sin x} f(x,y)\,\mathrm{d}y $$ 区域： $0 \le x \le \pi$，下边界 $y = -\sin\frac{x}{2}$，上边界 $y = \sin x$。 两曲线交点：解 $-\sin\frac{x}{2} = \sin x$，即 $\sin x + \sin\frac{x}{2} = 0$，用和差化积： $2\sin\frac{3x}{4}\cos\frac{x}{4} = 0$，在 $[0,\pi]$ 内解得 $x=0$ 或 $x=\frac{4\pi}{3}$（超出范围），或 $\cos\frac{x}{4}=0 \Rightarrow x=2\pi$（超出），故只有 $x=0$ 及 $\sin x = 0$ 得 $x=\pi$ 也满足？检查：当 $x=\pi$，$\sin\pi=0$，$-\sin\frac{\pi}{2}=-1$，不相等。因此仅 $x=0$ 处均为 0。 区域形状较复杂，需要分段描述 $y$ 的范围。 观察： - 当 $0 \le x \le \pi$，下边界 $-\sin\frac{x}{2} \le 0$，上边界 $\sin x \ge 0$（在 $[0,\pi]$ 上非负）。 - 下边界最小值在 $x=\pi$ 处为 $-1$，上边界最大值在 $x=\frac{\pi}{2}$ 处为 1。 因此 $y$ 从 -1 到 1。 对于固定 $y$，解出 $x$ 范围： 下边界方程 $y = -\sin\frac{x}{2} \Rightarrow \sin\frac{x}{2} = -y$，因 $x/2 \in [0,\pi/2]$，$\sin$ 非负，故仅当 $y \le 0$ 时有解：$x = -2\arcsin y$（注意 $\arcsin y \le 0$ 时取负，但 $x$ 需正，实际应写为 $x = 2\arcsin(-y)$）。 上边界 $y = \sin x$，在 $[0,\pi]$ 上，当 $0\le y\le 1$ 时有两支：$x = \arcsin y$ 与 $x = \pi - \arcsin y$。 综合区域需分 $y\ge 0$ 与 $y<0$：
- 当 $0 \le y \le 1$： 上边界对应两个 $x$ 值：左支 $x = \arcsin y$，右支 $x = \pi - \arcsin y$；下边界 $-\sin\frac{x}{2} \le 0$，因此下边界就是 $x$ 轴？不对，下边界为负值，此时 $y\ge0$ 区域的下边界实际是 $y=0$（因为负边界不影响）。但需注意原区域中下边界为负，对于 $y\ge0$，区域是从下边界 $y=0$ 到上边界？不对，原区域中 $y$ 是从负到正，所以对于 $y\ge0$，$x$ 范围应满足 $-\sin\frac{x}{2} \le y$ 自动成立？不一定，因为若 $y$ 为正，下边界为负，确实所有 $x$ 都满足 $y \ge -\sin\frac{x}{2}$，所以只需上边界条件。因此对于 $0\le y\le 1$，$x$