📝 题目
4．试确定积分区域 $D$ ，使二重积分 $\displaystyle{\iint}_{D}\left(1-2 x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 达到最大值．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求二重积分 $$ \iint_{D} (1 - 2x^2 - y^2) \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y $$ 达到最大值，即选择积分区域 $D$ 使得被积函数在 $D$ 上尽可能取正值，而负值部分不包含在积分区域中。
被积函数为 $$ f(x, y) = 1 - 2x^2 - y^2. $$ 当 $f(x, y) \ge 0$ 时，积分贡献非负；当 $f(x, y) < 0$ 时，积分贡献为负，会减小总值。因此，为使积分最大，应取 $$ D = \{(x, y) \mid 1 - 2x^2 - y^2 \ge 0\}. $$ 即 $$ 2x^2 + y^2 \le 1. $$ 这是一个椭圆区域，长半轴在 $y$ 方向为 $1$，短半轴在 $x$ 方向为 $\frac{1}{\sqrt{2}}$。
因此，积分区域 $D$ 为椭圆 $$ \frac{x^2}{(1/\sqrt{2})^2} + \frac{y^2}{1^2} \le 1. $$
此时积分值最大。
**难度评级**：★☆☆☆☆ （只需理解“取被积函数非负的区域”这一极值原理，无需复杂计算。）