📝 题目
3．利用二重积分定义证明： （1） $\displaystyle{\iint}_{D} \mathrm{~d} \sigma=\sigma$（其中 $\sigma$ 为 $D$ 的面积）； （2） $\displaystyle{\iint}_{D} k f(x, y) \mathrm{d} \sigma=k \displaystyle{\iint}_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$（其中 $k$ 为常数）； （3） $\displaystyle{\iint}_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma=\displaystyle{\iint}_{D_{1}} f(x, y) \mathrm{d} \sigma+\displaystyle{\iint}_{D_{2}} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D=D_{1} \cup D_{2}, D_{1}, D_{2}$ 为两个无公共内点的闭区域。
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）证明** $\displaystyle{\iint}_{D} \mathrm{~d} \sigma=\sigma$
由二重积分的定义，对于有界闭区域 $D$，将其任意分割为 $n$ 个小闭区域 $\Delta \sigma_i$（$i=1,2,\dots,n$），每个小区域的面积记为 $\Delta \sigma_i$，任取点 $(\xi_i,\eta_i)\in \Delta \sigma_i$，作和式 $$ \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i,\eta_i) \Delta \sigma_i. $$ 当 $f(x,y)\equiv 1$ 时，有 $$ \sum_{i=1}^{n} 1 \cdot \Delta \sigma_i = \sum_{i=1}^{n} \Delta \sigma_i = \sigma, $$ 其中 $\sigma$ 是区域 $D$ 的总面积。令各小区域直径的最大值 $\lambda \to 0$，该和式的极限即为二重积分，因此 $$ \displaystyle{\iint}_{D} 1 \cdot \mathrm{d}\sigma = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} \Delta \sigma_i = \sigma, $$ 即 $\displaystyle{\iint}_{D} \mathrm{~d} \sigma=\sigma$。证毕。
**（2）证明** $\displaystyle{\iint}_{D} k f(x, y) \mathrm{d} \sigma=k \displaystyle{\iint}_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$（$k$ 为常数）
由二重积分定义，对区域 $D$ 作任意分割，取点 $(\xi_i,\eta_i)\in \Delta \sigma_i$，则函数 $k f(x,y)$ 的积分和为 $$ \sum_{i=1}^{n} k f(\xi_i,\eta_i) \Delta \sigma_i = k \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i,\eta_i) \Delta \sigma_i. $$ 令 $\lambda \to 0$，两边取极限，由极限的线性性质得 $$ \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} k f(\xi_i,\eta_i) \Delta \sigma_i = k \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i,\eta_i) \Delta \sigma_i, $$ 即 $$ \displaystyle{\iint}_{D} k f(x,y) \mathrm{d}\sigma = k \displaystyle{\iint}_{D} f(x,y) \mathrm{d}\sigma. $$ 证毕。
**（3）证明** $\displaystyle{\iint}_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma=\displaystyle{\iint}_{D_{1}} f(x, y) \mathrm{d} \sigma+\displaystyle{\iint}_{D_{2}} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$，其中 $D=D_1 \cup D_2$，且 $D_1, D_2$ 无公共内点。
将区域 $D$ 分割时，使分割线沿着 $D_1$ 与 $D_2$ 的边界，则每个小区域 $\Delta \sigma_i$ 要么完全属于 $D_1$，要么完全属于 $D_2$，或者位于边界上（边界面积为0，不影响积分值）。于是积分和可分解为 $$ \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i,\eta_i) \Delta \sigma_i = \sum_{\Delta \sigma_i \subset D_1} f(\xi_i,\eta_i) \Delta \sigma_i + \sum_{\Delta \sigma_i \subset D_2} f(\xi_i,\eta_i) \Delta \sigma_i. $$ 令 $\lambda \to 0$，两边取极限，由极限的加法性质得 $$ \displaystyle{\iint}_{D} f(x,y) \mathrm{d}\sigma = \displaystyle{\iint}_{D_1} f(x,y) \mathrm{d}\sigma + \displaystyle{\iint}_{D_2} f(x,y) \mathrm{d}\sigma. $$ 证毕。
难度：★☆☆☆☆