📝 题目
2．设 $I_{1}=\displaystyle{\iint}_{D_{1}}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D_{1}=\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,-2 \leqslant y \leqslant 2\}$ ；又 $I_{2}=\displaystyle{\iint}_{D_{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D_{2}=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 2\}$ ．试利用二重积分的几何意义说明 $I_{1}$ 与 $I_{2}$ 之间的关系．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**步骤1：理解二重积分的几何意义** 二重积分 $\displaystyle{\iint}_{D} f(x,y) \, \mathrm{d}\sigma$ 在 $f(x,y) \ge 0$ 时表示以区域 $D$ 为底、曲面 $z = f(x,y)$ 为顶的曲顶柱体的体积。 本题中 $f(x,y) = (x^2+y^2)^3 \ge 0$，因此 $I_1$ 和 $I_2$ 分别表示对应区域上的体积。
**步骤2：分析区域对称性** 区域 $D_1 = [-1,1] \times [-2,2]$ 是关于 $x$ 轴和 $y$ 轴都对称的矩形。 被积函数 $(x^2+y^2)^3$ 是偶函数，即 $$ f(-x,y) = f(x,y), \quad f(x,-y) = f(x,y). $$ 因此，整个体积 $I_1$ 可以平均分成四个全等的部分，每个部分对应第一象限的子区域。
**步骤3：确定第一象限子区域** 第一象限部分为 $$ D_{1}^+ = \{(x,y) \mid 0 \le x \le 1,\ 0 \le y \le 2\}. $$ 由于对称性，有 $$ I_1 = 4 \cdot \displaystyle{\iint}_{D_{1}^+} (x^2+y^2)^3 \, \mathrm{d}\sigma. $$
**步骤4：比较 $I_2$ 与第一象限部分** 题目中 $D_2 = \{(x,y) \mid 0 \le x \le 1,\ 0 \le y \le 2\}$，恰好就是 $D_{1}^+$。 因此 $$ I_2 = \displaystyle{\iint}_{D_{2}} (x^2+y^2)^3 \, \mathrm{d}\sigma = \displaystyle{\iint}_{D_{1}^+} (x^2+y^2)^3 \, \mathrm{d}\sigma. $$
**步骤5：得出结论** 由步骤3和步骤4可得 $$ I_1 = 4 I_2. $$
**最终答案：** $$ \boxed{I_1 = 4 I_2} $$
难度：★☆☆☆☆