📝 题目
14．利用极坐标计算下列各题： （1） $\displaystyle{\iint}_{D} \mathrm{e}^{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D$ 是由圆周 $x^{2}+y^{2}=4$ 所围成的闭区域； （2） $\displaystyle{\iint}_{D} \ln \left(1+x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D$ 是由圆周 $x^{2}+y^{2}=1$ 及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域； （3） $\displaystyle{\iint}_{D} \arctan \frac{y}{x} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D$ 是由圆周 $x^{2}+y^{2}=4, x^{2}+y^{2}=1$ 及直线 $y=0, y=x$ 所围成的在第一象限内的闭区域。
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）** 区域 $D$ 为圆盘 $x^2+y^2 \le 4$，极坐标变换： $$ x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad \mathrm{d}\sigma = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta, $$ 被积函数 $\mathrm{e}^{x^2+y^2} = \mathrm{e}^{r^2}$，积分区域：$0 \le r \le 2,\; 0 \le \theta \le 2\pi$。
于是 $$ \iint_D \mathrm{e}^{x^2+y^2}\,\mathrm{d}\sigma = \int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_{0}^{2} \mathrm{e}^{r^2}\, r\,\mathrm{d}r. $$
先计算内层积分： $$ \int_{0}^{2} r\,\mathrm{e}^{r^2}\,\mathrm{d}r = \frac12 \int_{0}^{2} \mathrm{e}^{r^2}\,\mathrm{d}(r^2) = \frac12 \left[\mathrm{e}^{r^2}\right]_{0}^{2} = \frac12 (\mathrm{e}^{4} - 1). $$
再乘以 $\theta$ 积分： $$ \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\theta = 2\pi, $$ 所以结果为 $$ \boxed{\pi(\mathrm{e}^{4} - 1)}. $$
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**（2）** 区域 $D$ 为第一象限内单位圆扇形：$0 \le r \le 1,\; 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$，被积函数 $$ \ln(1+x^2+y^2) = \ln(1+r^2). $$
于是 $$ \iint_D \ln(1+x^2+y^2)\,\mathrm{d}\sigma = \int_{0}^{\pi/2}\mathrm{d}\theta \int_{0}^{1} \ln(1+r^2)\, r\,\mathrm{d}r. $$
内层积分： $$ \int_{0}^{1} r\ln(1+r^2)\,\mathrm{d}r = \frac12 \int_{0}^{1} \ln(1+r^2)\,\mathrm{d}(r^2) $$ 令 $t = r^2$，则 $$ \frac12 \int_{0}^{1} \ln(1+t)\,\mathrm{d}t = \frac12 \left[ (1+t)\ln(1+t) - t \right]_{0}^{1} = \frac12 \left[ 2\ln 2 - 1 - (1\cdot \ln 1 - 0) \right] = \frac12 (2\ln 2 - 1). $$
外层 $\theta$ 积分： $$ \int_{0}^{\pi/2} \mathrm{d}\theta = \frac{\pi}{2}, $$ 所以结果为 $$ \boxed{\frac{\pi}{4}(2\ln 2 - 1)}. $$
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**（3）** 区域 $D$ 为第一象限内介于半径 $1$ 和 $2$ 的圆环，且介于直线 $y=0$（即 $\theta=0$）与 $y=x$（即 $\theta=\frac{\pi}{4}$）之间。 极坐标下： $$ 1 \le r \le 2,\quad 0 \le \theta \le \frac{\pi}{4}, $$ 被积函数 $$ \arctan\frac{y}{x} = \arctan(\tan\theta) = \theta \quad (\text{因为第一象限 } \theta\in[0,\pi/2)). $$
于是 $$ \iint_D \arctan\frac{y}{x}\,\mathrm{d}\sigma = \int_{0}^{\pi/4} \theta\,\mathrm{d}\theta \int_{1}^{2} r\,\mathrm{d}r. $$
先计算 $r$ 积分： $$ \int_{1}^{2} r\,\mathrm{d}r = \frac12 (4 - 1) = \frac{3}{2}. $$
再计算 $\theta$ 积分： $$ \int_{0}^{\pi/4} \theta\,\mathrm{d}\theta = \frac12 \left(\frac{\pi}{4}\right)^2 = \frac{\pi^2}{32}. $$
相乘得： $$ \boxed{\frac{3\pi^2}{64}}. $$
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**难度评级**：★★☆☆☆ （均为标准极坐标换元，计算量小，思路直接，仅需掌握基本积分技巧即可。）