📝 题目
13．把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值： （1） $\displaystyle{\int}_{0}^{2 a} \mathrm{~d} x \displaystyle{\int}_{0}^{\sqrt{2 a x-x^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} y$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{0}^{a} \mathrm{~d} x \displaystyle{\int}_{0}^{x} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \mathrm{~d} x \displaystyle{\int}_{x^{2}}^{x}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{-\frac{1}{2}} \mathrm{~d} y$ ； （4） $\displaystyle{\int}_{0}^{a} \mathrm{~d} y \displaystyle{\int}_{0}^{\sqrt{a^{2}-y^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们依次将每个积分化为极坐标并计算。
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### （1） 原积分： $$ I = \int_{0}^{2a} dx \int_{0}^{\sqrt{2ax - x^{2}}} (x^{2}+y^{2}) \, dy $$
**步骤1：确定积分区域** 由 $y$ 的上限 $\sqrt{2ax - x^{2}}$ 得： $$ y^{2} = 2ax - x^{2} \quad\Rightarrow\quad x^{2} - 2ax + y^{2} = 0 \quad\Rightarrow\quad (x-a)^{2} + y^{2} = a^{2} $$ 这是圆心在 $(a,0)$、半径为 $a$ 的圆。 又 $x$ 从 $0$ 到 $2a$，$y$ 从 $0$ 到 $\sqrt{2ax-x^{2}}$，所以是上半圆区域。
**步骤2：极坐标变换** 令 $x = r\cos\theta,\; y = r\sin\theta$，则圆方程 $(x-a)^{2}+y^{2}=a^{2}$ 化为： $$ r^{2} - 2a r\cos\theta = 0 \quad\Rightarrow\quad r = 2a\cos\theta $$ 由于是上半圆，$\theta$ 从 $0$ 到 $\frac{\pi}{2}$，且 $r$ 从 $0$ 到 $2a\cos\theta$。
被积函数 $x^{2}+y^{2}=r^{2}$，面积元 $dx\,dy = r\,dr\,d\theta$。
**步骤3：化为极坐标积分** $$ I = \int_{\theta=0}^{\pi/2} \int_{r=0}^{2a\cos\theta} r^{2} \cdot r \, dr\,d\theta = \int_{0}^{\pi/2} d\theta \int_{0}^{2a\cos\theta} r^{3} \, dr $$
**步骤4：计算** $$ \int_{0}^{2a\cos\theta} r^{3} dr = \frac{(2a\cos\theta)^{4}}{4} = \frac{16 a^{4} \cos^{4}\theta}{4} = 4a^{4}\cos^{4}\theta $$ 于是： $$ I = 4a^{4} \int_{0}^{\pi/2} \cos^{4}\theta \, d\theta $$ 利用公式 $\int_{0}^{\pi/2} \cos^{4}\theta\, d\theta = \frac{3\pi}{16}$，得： $$ I = 4a^{4} \cdot \frac{3\pi}{16} = \frac{3\pi a^{4}}{4} $$
**答案（1）：** $$ \boxed{\dfrac{3\pi a^{4}}{4}} $$
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### （2） 原积分： $$ I = \int_{0}^{a} dx \int_{0}^{x} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \, dy $$
**步骤1：区域** $x$ 从 $0$ 到 $a$，$y$ 从 $0$ 到 $x$，是直线 $y=x$ 下方、第一象限的三角形区域。
**步骤2：极坐标** 在极坐标下，直线 $y=x$ 对应 $\theta = \frac{\pi}{4}$。 $x$ 从 $0$ 到 $a$ 对应 $r$ 从 $0$ 到 $\frac{a}{\cos\theta}$（因为 $x=r\cos\theta = a$ 时 $r = a/\cos\theta$）。 $\theta$ 从 $0$ 到 $\frac{\pi}{4}$。
被积函数 $\sqrt{x^{2}+y^{2}} = r$，面积元 $r\,dr\,d\theta$。
**步骤3：积分** $$ I = \int_{\theta=0}^{\pi/4} \int_{r=0}^{a/\cos\theta} r \cdot r \, dr\,d\theta = \int_{0}^{\pi/4} d\theta \int_{0}^{a/\cos\theta} r^{2} dr $$
**步骤4：计算** $$ \int_{0}^{a/\cos\theta} r^{2} dr = \frac{(a/\cos\theta)^{3}}{3} = \frac{a^{3}}{3\cos^{3}\theta} $$ 于是： $$ I = \frac{a^{3}}{3} \int_{0}^{\pi/4} \frac{d\theta}{\cos^{3}\theta} = \frac{a^{3}}{3} \int_{0}^{\pi/4} \sec^{3}\theta \, d\theta $$
已知： $$ \int \sec^{3}\theta \, d\theta = \frac{1}{2} \left( \sec\theta \tan\theta + \ln|\sec\theta+\tan\theta| \right) $$ 代入上下限： - 当 $\theta=\pi/4$：$\sec\theta=\sqrt{2},\;\tan\theta=1$，得 $\frac{1}{2}(\sqrt{2}\cdot 1 + \ln(\sqrt{2}+1))$ - 当 $\theta=0$：$\sec0=1,\;\tan0=0$，得 $\frac{1}{2}(0+\ln1)=0$
所以： $$ \int_{0}^{\pi/4} \sec^{3}\theta\, d\theta = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}\ln(\sqrt{2}+1) $$ 因此： $$ I = \frac{a^{3}}{3} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}\ln(\sqrt{2}+1) \right) = \frac{a^{3}}{6} \left( \sqrt{2} + \ln(1+\sqrt{2}) \right) $$
**答案（2）：** $$ \boxed{\dfrac{a^{3}}{6}\left( \sqrt{2} + \ln(1+\sqrt{2}) \right)} $$
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### （3） 原积分： $$ I = \int_{0}^{1} dx \int_{x^{2}}^{x} (x^{2}+y^{2})^{-1/2} \, dy $$
**步骤1：区域** 曲线 $y=x^{2}$（抛物线）与直线 $y=x$ 在 $x\in[0,1]$ 之间围成的区域，且 $y$ 从下边界 $x^{2}$ 到上边界 $x$。
**步骤2：极坐标** 抛物线 $y=x^{2}$ 化为 $r\sin\theta = r^{2}\cos^{2}\theta \Rightarrow r = \frac{\sin\theta}{\cos^{2}\theta} = \tan\theta \sec\theta$。 直线 $y=x$ 对应 $\theta=\pi/4$。 在 $x=1$ 处，直线 $y=x$ 对应 $r\cos\theta=1 \Rightarrow r=1/\cos\theta$；抛物线 $y=x^{2}$ 在 $x=1$ 处也过点 $(1,1)$，所以上边界为直线，下边界为抛物线。
对于固定的 $\theta$，$r$ 从下边界（抛物线）到上边界（直线）： - 下边界：$r = \tan\theta \sec\theta$ - 上边界：$r = 1/\cos\theta$
$\theta$ 范围：从 $\theta=0$（对应 $x$ 轴）到 $\theta=\pi/4$。
被积函数 $(x^{2}+y^{2})^{-1/2} = 1/r$，面积元 $r\,dr\,d\theta$，乘积为 $dr\,d\theta$。
**步骤3：积分** $$ I = \int_{\theta=0}^{\pi/4} \int_{r=\tan\theta\sec\theta}^{1/\cos\theta} \frac{1}{r} \cdot r \, dr\,d\theta = \int_{0}^{\pi/4} d\theta \int_{\tan\theta\sec\theta}^{\sec\theta} dr $$
**步骤4：计算** 内层积分： $$ \int_{\tan\theta\sec\theta}^{\sec\theta} dr = \sec\theta - \tan\theta\sec\theta = \sec\theta(1-\tan\theta) $$ 于是： $$ I = \int_{0}^{\pi/4} \sec\theta (1-\tan\theta) \, d\theta = \int_{0}^{\pi/4} \sec\theta \, d\theta - \int_{0}^{\pi/4} \sec\theta \tan\theta \, d\theta $$
计算： $$ \int \sec\theta \, d\theta = \ln|\sec\theta+\tan\theta| $$ $$ \int \sec\theta\tan\theta \, d\theta = \sec\theta $$
代入上下限： - 第一项：$\ln(\sec\theta+\tan\theta)\big|_{0}^{\pi/4} = \ln(\sqrt{2}+1) - \ln(1+0) = \ln(1+\sqrt{2