📝 题目
12．化下列二次积分为极坐标形式的二次积分： （1） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \mathrm{~d} x \displaystyle{\int}_{0}^{1} f(x, y) \mathrm{d} y$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{0}^{2} \mathrm{~d} x \displaystyle{\int}_{x}^{\sqrt{3} x} f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} y$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \mathrm{~d} x \displaystyle{\int}_{1-x}^{\sqrt{1-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ； （4） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \mathrm{~d} x \displaystyle{\int}_{0}^{x^{2}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）** 积分区域为： $0 \le x \le 1$，$0 \le y \le 1$，即正方形区域。 在极坐标下，$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$r \ge 0$，$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$。 边界 $x=1$ 对应 $r\cos\theta = 1 \Rightarrow r = \frac{1}{\cos\theta}$， 边界 $y=1$ 对应 $r\sin\theta = 1 \Rightarrow r = \frac{1}{\sin\theta}$。 因此对于固定的 $\theta$，$r$ 从 $0$ 到 $\min\left(\frac{1}{\cos\theta}, \frac{1}{\sin\theta}\right)$。 由于对称性，在 $0 \le \theta \le \frac{\pi}{4}$ 时，$r$ 上限为 $\frac{1}{\cos\theta}$； 在 $\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ 时，$r$ 上限为 $\frac{1}{\sin\theta}$。 所以极坐标二次积分为： $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \mathrm{d}\theta \int_{0}^{\frac{1}{\cos\theta}} f(r\cos\theta, r\sin\theta)\, r\,\mathrm{d}r + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{d}\theta \int_{0}^{\frac{1}{\sin\theta}} f(r\cos\theta, r\sin\theta)\, r\,\mathrm{d}r. $$
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**（2）** 积分区域：$0 \le x \le 2$，$x \le y \le \sqrt{3}x$。 边界 $y=x$ 对应 $\theta = \frac{\pi}{4}$， 边界 $y=\sqrt{3}x$ 对应 $\theta = \frac{\pi}{3}$。 $x$ 从 $0$ 到 $2$，在极坐标下 $x = r\cos\theta$，$r\cos\theta = 2 \Rightarrow r = \frac{2}{\cos\theta}$。 因此： $$ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \mathrm{d}\theta \int_{0}^{\frac{2}{\cos\theta}} f(r)\, r\,\mathrm{d}r. $$
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**（3）** 积分区域：$0 \le x \le 1$，$1-x \le y \le \sqrt{1-x^2}$。 直线 $y = 1-x$ 在极坐标下：$r\sin\theta = 1 - r\cos\theta \Rightarrow r(\sin\theta + \cos\theta) = 1 \Rightarrow r = \frac{1}{\sin\theta + \cos\theta}$。 圆弧 $y = \sqrt{1-x^2}$ 即 $x^2+y^2=1$，对应 $r=1$。 $x$ 从 $0$ 到 $1$，交点：当 $x=0$ 时，$y=1$，对应 $\theta = \frac{\pi}{2}$； 当 $y=0$ 时，$x=1$，对应 $\theta = 0$。 但注意 $y \ge 1-x$，所以 $\theta$ 范围从直线与圆弧交点决定：解 $r=1$ 与 $r=\frac{1}{\sin\theta+\cos\theta}$ 相等得 $\sin\theta+\cos\theta=1$，即 $\theta=0$ 或 $\theta=\frac{\pi}{2}$。 因此 $\theta$ 从 $0$ 到 $\frac{\pi}{2}$，$r$ 从直线到圆弧： $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{d}\theta \int_{\frac{1}{\sin\theta+\cos\theta}}^{1} f(r\cos\theta, r\sin\theta)\, r\,\mathrm{d}r. $$
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**（4）** 积分区域：$0 \le x \le 1$，$0 \le y \le x^2$。 抛物线 $y = x^2$ 在极坐标下：$r\sin\theta = r^2\cos^2\theta \Rightarrow \sin\theta = r\cos^2\theta \Rightarrow r = \frac{\sin\theta}{\cos^2\theta} = \tan\theta \sec\theta$。 $x$ 从 $0$ 到 $1$，当 $x=1$ 时，$y=1$，对应点 $(1,1)$，$\theta = \frac{\pi}{4}$。 当 $x\to 0$ 时，$\theta \to 0$，所以 $\theta$ 从 $0$ 到 $\frac{\pi}{4}$，$r$ 从 $0$ 到 $\tan\theta \sec\theta$： $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \mathrm{d}\theta \int_{0}^{\tan\theta \sec\theta} f(r\cos\theta, r\sin\theta)\, r\,\mathrm{d}r. $$
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难度评级：★★★☆☆ （需要熟练进行直角坐标到极坐标的区域转换，并处理边界方程）