📝 题目
11．画出积分区域，把积分 $\displaystyle{\iint}_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域 $D$ 是 （1）$\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}\right\}(a\gt 0)$ ； （2）$\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 2 x\right\}$ ； （3）$\left\{(x, y) \mid a^{2} \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant b^{2}\right\}$ ，其中 $0\lt a\lt b$ ； （4）$\{(x, y) \mid 0 \leqslant y \leqslant 1-x, 0 \leqslant x \leqslant 1\}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）** 区域 $D: x^2+y^2 \le a^2$，即圆心在原点、半径为 $a$ 的圆盘。 极坐标变换： $$ x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad \mathrm{d}x\mathrm{d}y = r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta $$ 区域表示为： $$ 0 \le r \le a,\quad 0 \le \theta \le 2\pi $$ 所以极坐标二次积分为： $$ \iint_D f(x,y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_{0}^{a} f(r\cos\theta, r\sin\theta)\, r\,\mathrm{d}r $$
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**（2）** 区域 $D: x^2+y^2 \le 2x$。 配方得： $$ (x-1)^2 + y^2 \le 1 $$ 这是圆心在 $(1,0)$、半径为 $1$ 的圆。 极坐标下： $$ x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta $$ 不等式变为： $$ r^2 \le 2r\cos\theta \quad\Rightarrow\quad r \le 2\cos\theta $$ 由于圆过原点且位于右半平面，$\theta$ 范围是 $-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$。 所以极坐标二次积分为： $$ \iint_D f(x,y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\mathrm{d}\theta \int_{0}^{2\cos\theta} f(r\cos\theta, r\sin\theta)\, r\,\mathrm{d}r $$
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**（3）** 区域 $D: a^2 \le x^2+y^2 \le b^2$，其中 $0 --- **（4）** 区域 $D: 0 \le y \le 1-x,\ 0 \le x \le 1$，即三角形区域，顶点为 $(0,0),(1,0),(0,1)$。 极坐标下，边界 $x+y=1$ 变为： $$ r\cos\theta + r\sin\theta = 1 \quad\Rightarrow\quad r = \frac{1}{\cos\theta+\sin\theta} $$ 且 $x\ge 0, y\ge 0$ 对应 $\theta$ 范围 $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$。 对固定的 $\theta$，$r$ 从 $0$ 到 $\frac{1}{\cos\theta+\sin\theta}$。 所以极坐标二次积分为： $$ \iint_D f(x,y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_{0}^{\pi/2}\mathrm{d}\theta \int_{0}^{\frac{1}{\cos\theta+\sin\theta}} f(r\cos\theta, r\sin\theta)\, r\,\mathrm{d}r $$ --- **难度评级**：★★☆☆☆ （基础题，考察极坐标变换与区域描述，步骤直接，无复杂技巧）