📝 题目
1．求下列含参变量的积分所确定的函数的极限： （1） $\displaystyle{\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle{\int}_{x}^{1+x} \frac{\mathrm{~d} y}{1+x^{2}+y^{2}}$ ； （2） $\displaystyle{\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle{\int}_{-1}^{1} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y$ ； （3） $\displaystyle{\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle{\int}_{0}^{2} y^{2} \cos (x y) \mathrm{d} y$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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(1) 求极限 $\displaystyle{\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle{\int}_{x}^{1+x} \frac{\mathrm{~d} y}{1+x^{2}+y^{2}}}$
首先，被积函数 $f(x,y)=\frac{1}{1+x^2+y^2}$ 在 $x=0$ 附近连续，积分区间 $[x,1+x]$ 当 $x\to 0$ 时趋于 $[0,1]$。 由含参变量积分的连续性，极限等于在 $x=0$ 时的积分值： $$ \lim_{x\to 0} \int_{x}^{1+x} \frac{\mathrm{d}y}{1+x^2+y^2} = \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d}y}{1+0+y^2} = \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d}y}{1+y^2} = \left[ \arctan y \right]_{0}^{1} = \frac{\pi}{4}. $$
(2) 求极限 $\displaystyle{\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle{\int}_{-1}^{1} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y}$
被积函数 $\sqrt{x^2+y^2}$ 在 $x=0$ 时变为 $|y|$，且对于 $x$ 连续。 因此极限等于： $$ \lim_{x\to 0} \int_{-1}^{1} \sqrt{x^2+y^2} \, \mathrm{d}y = \int_{-1}^{1} |y| \, \mathrm{d}y = 2 \int_{0}^{1} y \, \mathrm{d}y = 2 \cdot \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{1} = 1. $$
(3) 求极限 $\displaystyle{\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle{\int}_{0}^{2} y^{2} \cos (x y) \mathrm{d} y}$
被积函数 $y^2 \cos(xy)$ 在 $x=0$ 附近连续，因此极限等于： $$ \lim_{x\to 0} \int_{0}^{2} y^2 \cos(xy) \, \mathrm{d}y = \int_{0}^{2} y^2 \cos(0) \, \mathrm{d}y = \int_{0}^{2} y^2 \, \mathrm{d}y = \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{2} = \frac{8}{3}. $$
难度：★☆☆☆☆