📝 题目
18．计算以 $x O y$ 面上的圆周 $x^{2}+y^{2}=a x(a\gt 0)$ 围成的闭区域为底，而以曲面 $z=x^{2}+y^{2}$ 为顶的曲顶柱体的体积．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
**解题思路** 曲顶柱体的体积可以用二重积分表示为 $$ V = \iint\limits_{D} (x^2 + y^2) \, \mathrm{d}\sigma, $$ 其中 $D$ 是底面区域，即 $xOy$ 平面上由圆周 $$ x^2 + y^2 = a x $$ 所围成的闭区域。 首先将圆的方程化为标准形式，确定积分区域，再选择适当的坐标系（极坐标）计算积分。
---
**第一步：确定区域 $D$** 将方程 $$ x^2 + y^2 = a x $$ 配方： $$ x^2 - a x + y^2 = 0 \quad\Rightarrow\quad \left(x - \frac{a}{2}\right)^2 + y^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2. $$ 因此这是一个圆心在 $(\frac{a}{2}, 0)$、半径为 $\frac{a}{2}$ 的圆。
---
**第二步：转化为极坐标** 令 $$ x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta, $$ 则圆的方程变为 $$ r^2 = a r\cos\theta \quad\Rightarrow\quad r = a\cos\theta \quad (r \ge 0). $$ 由于圆完全位于 $x \ge 0$ 的半平面，$\theta$ 的范围是 $$ -\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}. $$ 被积函数 $x^2 + y^2 = r^2$，面积元 $\mathrm{d}\sigma = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta$。
---
**第三步：写出二重积分并计算** $$ \begin{aligned} V &= \iint\limits_{D} (x^2+y^2)\,\mathrm{d}\sigma = \int_{\theta=-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{r=0}^{a\cos\theta} r^2 \cdot r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta \$$4pt] &= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left( \int_{0}^{a\cos\theta} r^3\,\mathrm{d}r \right) \mathrm{d}\theta \$$4pt] &= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left[ \frac{r^4}{4} \right]_{0}^{a\cos\theta} \mathrm{d}\theta = \frac{1}{4} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} a^4 \cos^4\theta \,\mathrm{d}\theta \$$4pt] &= \frac{a^4}{4} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^4\theta \,\mathrm{d}\theta. \end{aligned} $$
---
**第四步：计算 $\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^4\theta \,\mathrm{d}\theta$** 利用对称性，函数为偶函数，所以 $$ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^4\theta \,\mathrm{d}\theta = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^4\theta \,\mathrm{d}\theta. $$ 使用倍角公式降幂： $$ \cos^2\theta = \frac{1+\cos2\theta}{2},\quad \cos^4\theta = \left(\frac{1+\cos2\theta}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\left(1 + 2\cos2\theta + \cos^2 2\theta\right). $$ 而 $$ \cos^2 2\theta = \frac{1+\cos4\theta}{2}, $$ 所以 $$ \cos^4\theta = \frac{1}{4}\left(1 + 2\cos2\theta + \frac{1+\cos4\theta}{2}\right) = \frac{1}{4}\left(\frac{3}{2} + 2\cos2\theta + \frac{1}{2}\cos4\theta\right) = \frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos2\theta + \frac{1}{8}\cos4\theta. $$ 于是 $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^4\theta \,\mathrm{d}\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos2\theta + \frac{1}{8}\cos4\theta \right) \mathrm{d}\theta. $$ 计算得 $$ \frac{3}{8}\cdot\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\sin2\theta\Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}} + \frac{1}{8}\cdot\frac{1}{4}\sin4\theta\Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{3\pi}{16} + 0 + 0 = \frac{3\pi}{16}. $$ 因此 $$ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^4\theta \,\mathrm{d}\theta = 2 \cdot \frac{3\pi}{16} = \frac{3\pi}{8}. $$
---
**第五步：得到体积** $$ V = \frac{a^4}{4} \cdot \frac{3\pi}{8} = \frac{3\pi a^4}{32}. $$
---
**最终答案** $$ \boxed{\dfrac{3\pi a^{4}}{32}} $$
---
**难度评级**：★★★☆☆ （需要掌握极坐标变换、对称性化简、三角降幂积分，属于中等难度计算题。）