📝 题目
＊13．求球体 $r \leqslant a$ 位于雉面 $\varphi=\frac{\pi}{3}$ 和 $\varphi=\frac{2}{3} \pi$ 之间的部分的体积．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们考虑球坐标 $(r, \theta, \varphi)$，其中 $r$ 为到原点的距离，$\theta$ 为经度角（$0 \le \theta < 2\pi$），$\varphi$ 为纬度角（从 $z$ 轴正向起算，$0 \le \varphi \le \pi$）。 球体方程为 $r \le a$，锥面方程分别为 $\varphi = \frac{\pi}{3}$ 和 $\varphi = \frac{2\pi}{3}$。 所求体积为球体被这两个锥面所截出的部分。
体积元在球坐标下为： $$ dV = r^2 \sin\varphi \, dr \, d\varphi \, d\theta. $$
积分区域： - $r$ 从 $0$ 到 $a$， - $\varphi$ 从 $\frac{\pi}{3}$ 到 $\frac{2\pi}{3}$， - $\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$。
因此体积为： $$ V = \iiint dV = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{\varphi=\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \int_{r=0}^{a} r^2 \sin\varphi \, dr \, d\varphi \, d\theta. $$
先对 $r$ 积分： $$ \int_{0}^{a} r^2 \, dr = \left[ \frac{r^3}{3} \right]_{0}^{a} = \frac{a^3}{3}. $$
再对 $\varphi$ 积分： $$ \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \sin\varphi \, d\varphi = \left[ -\cos\varphi \right]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} = -\cos\frac{2\pi}{3} + \cos\frac{\pi}{3}. $$ 已知 $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$，$\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$，代入得： $$ = -\left(-\frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1. $$
最后对 $\theta$ 积分： $$ \int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi. $$
因此体积为： $$ V = \frac{a^3}{3} \cdot 1 \cdot 2\pi = \frac{2\pi a^3}{3}. $$
所以，所求体积为 $\displaystyle{\frac{2\pi a^3}{3}}$。
难度评级：★★☆☆☆ （基本球坐标积分，计算简单，但需注意锥面角度范围及球坐标体积元）