📝 题目
＊10．利用球面坐标计算下列三重积分： （1） $\displaystyle{\iiint}_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} V$ ，其中 $\Omega$ 是由球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 所围成的闭区域； （2） $\displaystyle{\iiint}_{\Omega} z \mathrm{~d} V$ ，其中闭区域 $\Omega=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+(z-a)^{2} \leqslant a^{2}, x^{2}+y^{2} \leqslant z^{2}\right\}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
**（1）** 计算 $$ \iiint_{\Omega} (x^2+y^2+z^2)\, \mathrm{d}V, $$ 其中 $\Omega$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 所围成的闭区域。
**解：** 采用球面坐标变换： $$ x = r\sin\varphi\cos\theta,\quad y = r\sin\varphi\sin\theta,\quad z = r\cos\varphi, $$ 体积元 $\mathrm{d}V = r^2\sin\varphi\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta$，且 $$ x^2+y^2+z^2 = r^2. $$ 积分区域 $\Omega$ 对应： $$ 0 \le r \le 1,\quad 0 \le \varphi \le \pi,\quad 0 \le \theta \le 2\pi. $$ 于是 $$ \begin{aligned} \iiint_{\Omega} (x^2+y^2+z^2)\,\mathrm{d}V &= \int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,\mathrm{d}\varphi \int_{0}^{1} r^2 \cdot r^2\,\mathrm{d}r \\ &= \int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,\mathrm{d}\varphi \int_{0}^{1} r^4\,\mathrm{d}r. \end{aligned} $$ 分别计算： $$ \int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta = 2\pi,\quad \int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,\mathrm{d}\varphi = 2,\quad \int_{0}^{1} r^4\,\mathrm{d}r = \frac{1}{5}. $$ 相乘得： $$ \iiint_{\Omega} (x^2+y^2+z^2)\,\mathrm{d}V = 2\pi \times 2 \times \frac{1}{5} = \frac{4\pi}{5}. $$
**（2）** 计算 $$ \iiint_{\Omega} z\,\mathrm{d}V, $$ 其中 $$ \Omega = \left\{(x,y,z)\mid x^2+y^2+(z-a)^2 \le a^2,\; x^2+y^2 \le z^2\right\}. $$
**解：** 第一个条件表示球心在 $(0,0,a)$、半径为 $a$ 的球体： $$ x^2+y^2+(z-a)^2 \le a^2 \quad\Rightarrow\quad x^2+y^2+z^2 \le 2az. $$ 第二个条件 $x^2+y^2 \le z^2$ 表示圆锥内部（包括上下锥面），由于球体在 $z\ge 0$ 部分，实际上我们取 $z\ge 0$ 的锥体部分。
采用球面坐标，令 $$ x = r\sin\varphi\cos\theta,\quad y = r\sin\varphi\sin\theta,\quad z = r\cos\varphi. $$ 球体条件变为： $$ r^2 \le 2a r\cos\varphi \quad\Rightarrow\quad r \le 2a\cos\varphi. $$ 圆锥条件 $x^2+y^2 \le z^2$ 变为： $$ r^2\sin^2\varphi \le r^2\cos^2\varphi \quad\Rightarrow\quad \tan^2\varphi \le 1 \quad\Rightarrow\quad \varphi \le \frac{\pi}{4}. $$ 由于 $z\ge 0$，有 $0\le\varphi\le\pi/2$，结合得 $0\le\varphi\le\pi/4$。 另外，球体要求 $r\le 2a\cos\varphi$，且 $r\ge 0$。
因此积分区域为： $$ 0\le\theta\le 2\pi,\quad 0\le\varphi\le\frac{\pi}{4},\quad 0\le r\le 2a\cos\varphi. $$ 被积函数 $z = r\cos\varphi$，体积元 $r^2\sin\varphi\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta$，于是 $$ \begin{aligned} \iiint_{\Omega} z\,\mathrm{d}V &= \int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_{0}^{\pi/4}\sin\varphi\,\mathrm{d}\varphi \int_{0}^{2a\cos\varphi} (r\cos\varphi)\, r^2\,\mathrm{d}r \\ &= \int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_{0}^{\pi/4}\sin\varphi\cos\varphi\,\mathrm{d}\varphi \int_{0}^{2a\cos\varphi} r^3\,\mathrm{d}r. \end{aligned} $$ 先对 $r$ 积分： $$ \int_{0}^{2a\cos\varphi} r^3\,\mathrm{d}r = \frac{(2a\cos\varphi)^4}{4} = \frac{16a^4\cos^4\varphi}{4} = 4a^4\cos^4\varphi. $$ 于是积分变为： $$ \iiint_{\Omega} z\,\mathrm{d}V = \int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_{0}^{\pi/4} \sin\varphi\cos\varphi \cdot 4a^4\cos^4\varphi\,\mathrm{d}\varphi = 4a^4 \cdot 2\pi \int_{0}^{\pi/4} \sin\varphi \cos^5\varphi\,\mathrm{d}\varphi. $$ 令 $u = \cos\varphi$，则 $\mathrm{d}u = -\sin\varphi\,\mathrm{d}\varphi$，当 $\varphi=0$ 时 $u=1$，$\varphi=\pi/4$ 时 $u=\sqrt{2}/2$，于是 $$ \int_{0}^{\pi/4} \sin\varphi\cos^5\varphi\,\mathrm{d}\varphi = \int_{1}^{\sqrt{2}/2} u^5 (-\mathrm{d}u) = \int_{\sqrt{2}/2}^{1} u^5\,\mathrm{d}u = \left.\frac{u^6}{6}\right|_{\sqrt{2}/2}^{1} = \frac{1}{6} - \frac{(\sqrt{2}/2)^6}{6}. $$ 计算 $(\sqrt{2}/2)^6 = (2^{1/2}/2)^6 = 2^{3}/2^6 = 8/64 = 1/8$，所以 $$ \int_{0}^{\pi/4} \sin\varphi\cos^5\varphi\,\mathrm{d}\varphi = \frac{1}{6} - \frac{1}{48} = \frac{8}{48} - \frac{1}{48} = \frac{7}{48}. $$ 因此 $$ \iiint_{\Omega} z\,\mathrm{d}V = 4a^4 \cdot 2\pi \cdot \frac{7}{48} = \frac{56\pi a^4}{48} = \frac{7\pi a^4}{6}. $$
**最终答案：** （1）$\displaystyle \frac{4\pi}{5}$ （2）$\displaystyle \frac{7\pi a^4}{6}$
难度：★★☆☆☆