📝 题目
4．化二重积分
$$ I=\displaystyle{\iint}_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma $$
为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分），其中积分区域 $D$ 是 （1）由直线 $y=x$ 及抛物线 $y^{2}=4 x$ 所围成的闭区域； （2）由 $x$ 轴及半圆周 $x^{2}+y^{2}=r^{2}(y \geqslant 0)$ 所围成的闭区域； （3）由直线 $y=x, x=2$ 及双曲线 $y=\frac{1}{x}(x>0)$ 所围成的闭区域； （4）环形闭区域 $\left\{(x, y) \mid 1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 4\right\}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
**（1）由直线 $y=x$ 及抛物线 $y^2=4x$ 所围成的闭区域**
先求交点： 由 $y=x$ 与 $y^2=4x$ 联立得 $x^2=4x \Rightarrow x(x-4)=0$，得 $x=0$ 或 $x=4$，对应交点 $(0,0)$ 和 $(4,4)$。
- **先对 $y$ 后对 $x$**： 区域在 $x$ 方向从 $0$ 到 $4$，对固定的 $x$，$y$ 从下边界 $y=x$ 到上边界 $y=2\sqrt{x}$（由 $y^2=4x$ 得 $y=2\sqrt{x}$，取正）。 $$ I = \displaystyle{\int_{0}^{4}} \displaystyle{\int_{x}^{2\sqrt{x}}} f(x,y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x $$
- **先对 $x$ 后对 $y$**： 区域在 $y$ 方向从 $0$ 到 $4$，对固定的 $y$，$x$ 从左边 $x=\frac{y^2}{4}$ 到右边 $x=y$。 $$ I = \displaystyle{\int_{0}^{4}} \displaystyle{\int_{\frac{y^2}{4}}^{y}} f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y $$
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**（2）由 $x$ 轴及半圆周 $x^2+y^2=r^2\ (y\ge 0)$ 所围成的闭区域**
- **先对 $y$ 后对 $x$**： $x$ 从 $-r$ 到 $r$，对固定 $x$，$y$ 从 $0$ 到 $\sqrt{r^2-x^2}$。 $$ I = \displaystyle{\int_{-r}^{r}} \displaystyle{\int_{0}^{\sqrt{r^2-x^2}}} f(x,y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x $$
- **先对 $x$ 后对 $y$**： $y$ 从 $0$ 到 $r$，对固定 $y$，$x$ 从 $-\sqrt{r^2-y^2}$ 到 $\sqrt{r^2-y^2}$。 $$ I = \displaystyle{\int_{0}^{r}} \displaystyle{\int_{-\sqrt{r^2-y^2}}^{\sqrt{r^2-y^2}}} f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y $$
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**（3）由直线 $y=x,\ x=2$ 及双曲线 $y=\frac{1}{x}\ (x>0)$ 所围成的闭区域**
先求交点： $y=x$ 与 $y=\frac{1}{x}$ 联立得 $x=\frac{1}{x} \Rightarrow x^2=1$，取 $x=1$，得交点 $(1,1)$。 $y=\frac{1}{x}$ 与 $x=2$ 得交点 $(2,\frac12)$。 $y=x$ 与 $x=2$ 得交点 $(2,2)$。
- **先对 $y$ 后对 $x$**： $x$ 从 $1$ 到 $2$，对固定 $x$，$y$ 从下边界 $y=\frac{1}{x}$ 到上边界 $y=x$。 $$ I = \displaystyle{\int_{1}^{2}} \displaystyle{\int_{\frac{1}{x}}^{x}} f(x,y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x $$
- **先对 $x$ 后对 $y$**： 区域在 $y$ 方向从 $\frac12$ 到 $2$，但需要分段： 当 $y$ 从 $\frac12$ 到 $1$ 时，左边 $x=\frac{1}{y}$，右边 $x=2$； 当 $y$ 从 $1$ 到 $2$ 时，左边 $x=y$，右边 $x=2$。 $$ I = \displaystyle{\int_{\frac12}^{1}} \displaystyle{\int_{\frac{1}{y}}^{2}} f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \;+\; \displaystyle{\int_{1}^{2}} \displaystyle{\int_{y}^{2}} f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y $$
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**（4）环形闭区域 $\{(x,y)\mid 1\le x^2+y^2\le 4\}$**
- **先对 $y$ 后对 $x$**： $x$ 从 $-2$ 到 $2$，但需分段： 当 $|x|\le 1$ 时，$y$ 从 $-\sqrt{4-x^2}$ 到 $\sqrt{4-x^2}$，但要挖掉内部圆，即去掉 $-\sqrt{1-x^2} - **先对 $x$ 后对 $y$**： 由对称性，与上类似，$y$ 从 $-2$ 到 $2$，分段： 当 $|y|\le 1$ 时，$x$ 分两段：$[-\sqrt{4-y^2}, -\sqrt{1-y^2}] \cup [\sqrt{1-y^2}, \sqrt{4-y^2}]$； 当 $1<|y|\le 2$ 时，$x$ 从 $-\sqrt{4-y^2}$ 到 $\sqrt{4-y^2}$。 $$ I = \displaystyle{\int_{-2}^{-1}} \displaystyle{\int_{-\sqrt{4-y^2}}^{\sqrt{4-y^2}}} f\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y + \displaystyle{\int_{-1}^{1}} \left( \displaystyle{\int_{-\sqrt{4-y^2}}^{-\sqrt{1-y^2}}} f\,\mathrm{d}x + \displaystyle{\int_{\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{4-y^2}}} f\,\mathrm{d}x \right) \mathrm{d}y + \displaystyle{\int_{1}^{2}} \displaystyle{\int_{-\sqrt{4-y^2}}^{\sqrt{4-y^2}}} f\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y $$ --- **难度评级**：★★★☆☆ （涉及多个区域划分与分段积分，需仔细分析边界，但计算本身不复杂。）