📝 题目
3．如果二重积分 $\displaystyle{\iint}_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 的被积函数 $f(x, y)$ 是两个函数 $f_{1}(x)$ 及 $f_{2}(y)$ 的乘积，即 $f(x, y)=f_{1}(x) \cdot f_{2}(y)$ ，积分区域 $D=\{(x, y) \mid a \leqslant x \leqslant b, c \leqslant y \leqslant d\}$ ，证明这个二重积分等于两个定积分的乘积，即
$$ \displaystyle{\iint_{D} f_{1}(x) \cdot f_{2}(y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\left[\displaystyle{\int}_{a}^{b} f_{1}(x) \mathrm{d} x\right] \cdot\left[\displaystyle{\int}_{c}^{d} f_{2}(y) \mathrm{d} y\right] $$
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们需要证明：当积分区域为矩形 $ D = [a, b] \times [c, d] $，且被积函数可分离变量时，二重积分可化为两个定积分的乘积。
**证明步骤：**
1. 由二重积分的定义，在矩形区域上，我们可以将二重积分化为累次积分（先对 $y$ 后对 $x$，或反之），即： $$ \iint_{D} f_1(x) f_2(y) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = \int_{a}^{b} \left( \int_{c}^{d} f_1(x) f_2(y) \, \mathrm{d}y \right) \mathrm{d}x. $$
2. 对于固定的 $x$，$f_1(x)$ 是与 $y$ 无关的常数，因此可以提到内层积分号外： $$ \int_{c}^{d} f_1(x) f_2(y) \, \mathrm{d}y = f_1(x) \int_{c}^{d} f_2(y) \, \mathrm{d}y. $$
3. 于是原二重积分化为： $$ \iint_{D} f_1(x) f_2(y) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = \int_{a}^{b} \left[ f_1(x) \int_{c}^{d} f_2(y) \, \mathrm{d}y \right] \mathrm{d}x. $$
4. 由于 $\displaystyle{\int_{c}^{d} f_2(y) \, \mathrm{d}y}$ 是一个与 $x$ 无关的常数，可以提到外层积分号外： $$ = \left( \int_{c}^{d} f_2(y) \, \mathrm{d}y \right) \cdot \int_{a}^{b} f_1(x) \, \mathrm{d}x. $$
5. 因此得到： $$ \iint_{D} f_1(x) f_2(y) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = \left[ \int_{a}^{b} f_1(x) \, \mathrm{d}x \right] \cdot \left[ \int_{c}^{d} f_2(y) \, \mathrm{d}y \right]. $$
证毕。
难度：★☆☆☆☆