📝 题目
＊9．设球占有闭区域 $\Omega=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 2 R z\right\}$ ，它在内部各点处的密度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方．试求这球的质心．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**步骤1：确定球体方程与区域描述** 球面方程为 $$ x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 2Rz $$ 将其化为标准形式： $$ x^{2}+y^{2}+(z-R)^{2} \leqslant R^{2} $$ 因此球心在 $(0,0,R)$，半径为 $R$。 密度函数 $\rho(x,y,z)$ 等于该点到原点的距离的平方，即 $$ \rho(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} $$
**步骤2：利用对称性简化质心坐标** 由于球体关于 $z$ 轴对称，且密度函数也是关于 $z$ 轴对称的（因为 $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ 仅与到 $z$ 轴的距离平方有关），因此质心的 $x$ 坐标和 $y$ 坐标均为零： $$ \bar{x}=0,\quad \bar{y}=0 $$ 只需计算 $\bar{z}$。
**步骤3：计算总质量 $M$** $$ M = \iiint_{\Omega} (x^{2}+y^{2}+z^{2})\,dV $$ 采用球坐标变换： 令 $$ x = r\sin\theta\cos\phi,\quad y = r\sin\theta\sin\phi,\quad z = r\cos\theta $$ 但注意球心不在原点，更方便的是采用平移后的球坐标： 设 $$ x = r\sin\theta\cos\phi,\quad y = r\sin\theta\sin\phi,\quad z = R + r\cos\theta $$ 其中 $0 \le r \le R,\; 0\le\theta\le\pi,\;0\le\phi\le 2\pi$。 此时 $$ x^{2}+y^{2}+z^{2} = r^{2}\sin^{2}\theta + (R+r\cos\theta)^{2} $$ 展开： $$ = r^{2}\sin^{2}\theta + R^{2} + 2Rr\cos\theta + r^{2}\cos^{2}\theta = r^{2}+R^{2}+2Rr\cos\theta $$ 体积元 $dV = r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\phi$。
因此 $$ M = \int_{0}^{2\pi} d\phi \int_{0}^{\pi} \sin\theta\,d\theta \int_{0}^{R} (r^{2}+R^{2}+2Rr\cos\theta)\, r^{2}\,dr $$
先对 $\phi$ 积分得 $2\pi$。 对 $r$ 和 $\theta$ 分开计算：
$$ M = 2\pi \int_{0}^{\pi} \sin\theta \left[ \int_{0}^{R} (r^{4} + R^{2}r^{2} + 2Rr^{3}\cos\theta)\,dr \right] d\theta $$
计算 $r$ 积分： $$ \int_{0}^{R} r^{4}\,dr = \frac{R^{5}}{5},\quad \int_{0}^{R} R^{2}r^{2}\,dr = R^{2}\cdot\frac{R^{3}}{3} = \frac{R^{5}}{3} $$ $$ \int_{0}^{R} 2Rr^{3}\cos\theta\,dr = 2R\cos\theta \cdot \frac{R^{4}}{4} = \frac{R^{5}}{2}\cos\theta $$
于是 $$ M = 2\pi \int_{0}^{\pi} \sin\theta \left( \frac{R^{5}}{5} + \frac{R^{5}}{3} + \frac{R^{5}}{2}\cos\theta \right) d\theta $$ $$ = 2\pi R^{5} \int_{0}^{\pi} \sin\theta \left( \frac{8}{15} + \frac{1}{2}\cos\theta \right) d\theta $$
分别积分： $$ \int_{0}^{\pi} \frac{8}{15}\sin\theta\,d\theta = \frac{8}{15}\cdot 2 = \frac{16}{15} $$ $$ \int_{0}^{\pi} \frac{1}{2}\sin\theta\cos\theta\,d\theta = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi} \frac{1}{2}\sin 2\theta\,d\theta = \frac{1}{4}\cdot 0 = 0 $$ （因为 $\sin 2\theta$ 在一个完整周期积分为零）
所以 $$ M = 2\pi R^{5} \cdot \frac{16}{15} = \frac{32\pi R^{5}}{15} $$
**步骤4：计算静矩 $M_{xy}$** $$ M_{xy} = \iiint_{\Omega} z\,(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,dV $$ 在平移球坐标中 $z = R + r\cos\theta$，所以 $$ M_{xy} = \int_{0}^{2\pi} d\phi \int_{0}^{\pi} \sin\theta\,d\theta \int_{0}^{R} (R+r\cos\theta)(r^{2}+R^{2}+2Rr\cos\theta)\, r^{2}\,dr $$
先对 $\phi$ 积分得 $2\pi$。 展开被积函数： $$ (R+r\cos\theta)(r^{2}+R^{2}+2Rr\cos\theta) $$ $$ = R(r^{2}+R^{2}+2Rr\cos\theta) + r\cos\theta(r^{2}+R^{2}+2Rr\cos\theta) $$ $$ = Rr^{2}+R^{3}+2R^{2}r\cos\theta + r^{3}\cos\theta + R^{2}r\cos\theta + 2Rr^{2}\cos^{2}\theta $$
合并含 $\cos\theta$ 的项： $$ 2R^{2}r\cos\theta + r^{3}\cos\theta + R^{2}r\cos\theta = (3R^{2}r + r^{3})\cos\theta $$ 所以被积函数为： $$ Rr^{2}+R^{3} + (3R^{2}r+r^{3})\cos\theta + 2Rr^{2}\cos^{2}\theta $$
乘以 $r^{2}$ 后对 $r$ 积分： $$ \int_{0}^{R} \left[ Rr^{4} + R^{3}r^{2} + (3R^{2}r^{3}+r^{5})\cos\theta + 2Rr^{4}\cos^{2}\theta \right] dr $$
逐项积分： $$ \int_{0}^{R} Rr^{4}\,dr = \frac{R^{6}}{5},\quad \int_{0}^{R} R^{3}r^{2}\,dr = \frac{R^{6}}{3} $$ $$ \int_{0}^{R} (3R^{2}r^{3}+r^{5})\cos\theta\,dr = \left(3R^{2}\cdot\frac{R^{4}}{4} + \frac{R^{6}}{6}\right)\cos\theta = \left(\frac{3R^{6}}{4}+\frac{R^{6}}{6}\right)\cos\theta = \frac{11R^{6}}{12}\cos\theta $$ $$ \int_{0}^{R} 2Rr^{4}\cos^{2}\theta\,dr = 2R\cdot\frac{R^{5}}{5}\cos^{2}\theta = \frac{2R^{6}}{5}\cos^{2}\theta $$
于是 $$ M_{xy} = 2\pi \int_{0}^{\pi} \sin\theta \left[ \frac{R^{6}}{5}+\frac{R^{6}}{3} + \frac{11R^{6}}{12}\cos\theta + \frac{2R^{6}}{5}\cos^{2}\theta \right] d\theta $$ $$ = 2\pi R^{6} \int_{0}^{\pi} \sin\theta \left( \frac{8}{15} + \frac{11}{12}\cos\theta + \frac{2}{5}\cos^{2}\theta \right) d\theta $$
分别积分： $$ \int_{0}^{\pi} \frac{8}{15}\sin\theta\,d\theta = \frac{16}{15} $$ $$ \int_{0}^{\pi} \frac{11}{12}\sin\theta\cos\theta\,d\theta = \frac{11}{12}\cdot 0 = 0 $$ $$ \int_{0}^{\pi} \frac{2}{5}\sin\theta\cos^{2}\theta\,d\theta = \frac{2}{5} \int_{0}^{\pi} \cos^{2}\theta\,d(-\cos\theta) = \frac{2}{5}\left[ -\frac{\cos^{3}\theta}{3} \right]_{0}^{\pi} $$ 计算： 当 $\theta=0$，$\cos\theta=1$；$\theta=\pi$，$\cos\theta=-1$。 $$ -\frac{1}{