📝 题目
13．求半径为 $a$ 、高为 $h$ 的均匀圆柱体对于过中心而平行于母线的轴的转动惯量（设密度 $\rho=1$ ）．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们考虑一个半径为 $a$、高为 $h$ 的均匀圆柱体，密度取 $\rho = 1$，要求计算它对于过中心且平行于母线的轴的转动惯量。
取圆柱体的中心为原点，母线方向为 $z$ 轴方向，则圆柱体区域为 $$ x^2 + y^2 \le a^2,\quad -\frac{h}{2} \le z \le \frac{h}{2}. $$ 所求轴为过中心且平行于母线的轴，即 $z$ 轴。对于密度为 $1$ 的物体，绕 $z$ 轴的转动惯量公式为 $$ I_z = \iiint\limits_{V} (x^2 + y^2) \, dV. $$ 采用柱坐标： $$ x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z, $$ 体积元 $dV = r\, dr\, d\theta\, dz$，且 $x^2 + y^2 = r^2$。积分区域为 $$ 0 \le r \le a,\quad 0 \le \theta \le 2\pi,\quad -\frac{h}{2} \le z \le \frac{h}{2}. $$ 于是 $$ I_z = \int_{z=-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}} \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{a} r^2 \cdot r\, dr\, d\theta\, dz = \int_{z=-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}} dz \int_{\theta=0}^{2\pi} d\theta \int_{r=0}^{a} r^3\, dr. $$ 分别计算： $$ \int_{z=-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}} dz = h, $$ $$ \int_{\theta=0}^{2\pi} d\theta = 2\pi, $$ $$ \int_{r=0}^{a} r^3\, dr = \left.\frac{r^4}{4}\right|_{0}^{a} = \frac{a^4}{4}. $$ 因此 $$ I_z = h \cdot 2\pi \cdot \frac{a^4}{4} = \frac{\pi a^4 h}{2}. $$
所以，所求转动惯量为 $$ \boxed{\dfrac{\pi a^4 h}{2}}. $$
难度：★☆☆☆☆