📝 题目
5．计算下列积分： （1） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \frac{\arctan x}{x} \frac{\mathrm{~d} x}{\sqrt{1-x^{2}}}$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \sin \left(\ln \frac{1}{x}\right) \frac{x^{b}-x^{a}}{\ln x} \mathrm{~d} x(0\lt a\lt b)$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们分别计算两个积分。
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### （1） 计算 $$ I = \int_{0}^{1} \frac{\arctan x}{x} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1-x^{2}}} $$
**步骤1：变量代换** 令 $ x = \sin t $，则 $ t \in [0, \frac{\pi}{2}] $， $$ \mathrm{d}x = \cos t \, \mathrm{d}t, \quad \sqrt{1-x^2} = \cos t $$ 于是 $$ \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}} = \mathrm{d}t $$ 且 $$ \frac{\arctan x}{x} = \frac{\arctan(\sin t)}{\sin t} $$ 所以 $$ I = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\arctan(\sin t)}{\sin t} \, \mathrm{d}t $$
**步骤2：利用积分公式** 考虑含参积分 $$ F(a) = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\arctan(a \sin t)}{\sin t} \, \mathrm{d}t $$ 则 $ F(0)=0 $，且 $$ F'(a) = \int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{1 + a^2 \sin^2 t} \, \mathrm{d}t $$ 这是一个标准积分，结果为 $$ \int_{0}^{\pi/2} \frac{\mathrm{d}t}{1 + a^2 \sin^2 t} = \frac{\pi}{2\sqrt{1+a^2}} $$ 因此 $$ F'(a) = \frac{\pi}{2\sqrt{1+a^2}} $$ 积分得 $$ F(a) = \frac{\pi}{2} \ln\left(a + \sqrt{1+a^2}\right) $$ 令 $ a = 1 $，得 $$ I = F(1) = \frac{\pi}{2} \ln(1+\sqrt{2}) $$
因此 $$ \boxed{\displaystyle \frac{\pi}{2}\ln(1+\sqrt{2})} $$
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### （2） 计算 $$ J = \int_{0}^{1} \sin\left(\ln\frac{1}{x}\right) \frac{x^{b} - x^{a}}{\ln x} \, \mathrm{d}x, \quad 0 < a < b $$
**步骤1：变量代换** 令 $ t = -\ln x $，则 $ x = e^{-t} $，$ \mathrm{d}x = -e^{-t} \mathrm{d}t $，当 $ x:0\to 1 $ 时，$ t:\infty \to 0 $。 于是 $$ \sin\left(\ln\frac{1}{x}\right) = \sin t $$ $$ x^{b} - x^{a} = e^{-b t} - e^{-a t} $$ $$ \ln x = -t $$ 因此 $$ \frac{x^{b} - x^{a}}{\ln x} \mathrm{d}x = \frac{e^{-b t} - e^{-a t}}{-t} \cdot (-e^{-t} \mathrm{d}t) = \frac{e^{-b t} - e^{-a t}}{t} e^{-t} \mathrm{d}t $$ 注意符号： 原积分 $$ J = \int_{0}^{1} \sin\left(\ln\frac{1}{x}\right) \frac{x^{b} - x^{a}}{\ln x} \mathrm{d}x $$ 代换后，积分限变为 $ t:\infty \to 0 $，需交换上下限，得 $$ J = \int_{0}^{\infty} \sin t \cdot \frac{e^{-(a+1)t} - e^{-(b+1)t}}{t} \, \mathrm{d}t $$
**步骤2：利用Frullani型积分公式** 已知公式（可视为正弦变换的Frullani型）： $$ \int_{0}^{\infty} \frac{\sin t}{t} \left(e^{-\alpha t} - e^{-\beta t}\right) \mathrm{d}t = \arctan\frac{1}{\alpha} - \arctan\frac{1}{\beta}, \quad \alpha,\beta > 0 $$ 这里 $\alpha = a+1$，$\beta = b+1$，所以 $$ J = \arctan\frac{1}{a+1} - \arctan\frac{1}{b+1} $$ 也可写作 $$ J = \arctan\left( \frac{b-a}{(a+1)(b+1)+1} \right) $$ 但最简形式为 $$ \boxed{\displaystyle \arctan\frac{1}{a+1} - \arctan\frac{1}{b+1}} $$
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**难度评级**：★★★★☆ 两个积分均需巧妙的变量代换与含参积分或特殊积分公式，技巧性较强。