📝 题目
6．计算 $\displaystyle{\iiint}_{\Omega} x y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Omega$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 及三个坐标面所围成的在第 I 卦限内的闭区域。
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们要求解三重积分： $$ \iiint_{\Omega} x y z \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z $$ 其中 $\Omega$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 与三个坐标平面 $x=0, y=0, z=0$ 所围成的第一卦限部分。
由于积分区域是球体的第一卦限部分，采用球坐标变换较为方便。令： $$ x = r\sin\theta\cos\varphi,\quad y = r\sin\theta\sin\varphi,\quad z = r\cos\theta $$ 其中： $$ 0 \le r \le 1,\quad 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2},\quad 0 \le \varphi \le \frac{\pi}{2} $$ 雅可比行列式为 $r^2\sin\theta$，因此体积元： $$ \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z = r^2\sin\theta \, \mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\varphi $$
被积函数： $$ x y z = (r\sin\theta\cos\varphi)(r\sin\theta\sin\varphi)(r\cos\theta) = r^3 \sin^2\theta \cos\theta \sin\varphi\cos\varphi $$
于是积分化为： $$ \iiint_{\Omega} x y z \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{1} r^3 \sin^2\theta \cos\theta \sin\varphi\cos\varphi \cdot r^2\sin\theta \, \mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\varphi $$
合并 $r$ 的幂次： $$ = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{1} r^5 \sin^3\theta \cos\theta \sin\varphi\cos\varphi \, \mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\varphi $$
由于变量分离，可分解为三个单积分相乘： $$ = \left( \int_{0}^{1} r^5 \, \mathrm{d}r \right) \cdot \left( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^3\theta \cos\theta \, \mathrm{d}\theta \right) \cdot \left( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin\varphi\cos\varphi \, \mathrm{d}\varphi \right) $$
分别计算： 1. $$ \int_{0}^{1} r^5 \, \mathrm{d}r = \left[ \frac{r^6}{6} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{6} $$
2. 令 $u = \sin\theta$，则 $\mathrm{d}u = \cos\theta \, \mathrm{d}\theta$，当 $\theta=0$ 时 $u=0$，$\theta=\frac{\pi}{2}$ 时 $u=1$， $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^3\theta \cos\theta \, \mathrm{d}\theta = \int_{0}^{1} u^3 \, \mathrm{d}u = \frac{1}{4} $$
3. 令 $t = \sin\varphi$，则 $\mathrm{d}t = \cos\varphi \, \mathrm{d}\varphi$，当 $\varphi=0$ 时 $t=0$，$\varphi=\frac{\pi}{2}$ 时 $t=1$， $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin\varphi\cos\varphi \, \mathrm{d}\varphi = \int_{0}^{1} t \, \mathrm{d}t = \frac{1}{2} $$
因此： $$ \iiint_{\Omega} x y z \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{48} $$
最终结果为： $$ \boxed{\dfrac{1}{48}} $$
难度：★★☆☆☆ （属于常规球坐标变换计算三重积分，步骤清晰，计算量较小，但需熟悉变量代换与积分分解技巧。）